Insiemi matematici

In matematica si usa la parola “insieme” per indicare un raggruppamento, una raccolta, una collezione di elementi: questi elementi possono essere oggetti, individui, simboli, numeri, figure geometriche, ecc… Gli elementi devono essere ben definiti e distinti tra loro.

E’ essenziale notare che un insieme si può considerare definito solo se è possibile decidere inequivocabilmente se un elemento appartiene o no, all’insieme.

Ad esempio “le persone simpatiche” non costituiscono un insieme, perché non si conosce un criterio oggettivo in base al quale una persona è giudicata simpatica. Al contrario “i numeri naturali minori di 10” costituiscono un insieme.

Il simbolo di appartenenza

Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme A si utilizza il simbolo di appartenenza Î.

Quindi a Î A si legge “a appartiene ad A” e indica che l’elemento a appartiene all’insieme A.

Un insieme può essere rappresentato in tre modi diversi.

1) Rappresentazione grafica (diagrammi di Eulero-Venn)

In questo caso si delimita con una linea chiusa una regione del piano e si rappresentano gli elementi dell’insieme come dei punti all’interno di tale regione. E’ possibile anche indicare il nome di ciascun elemento a fianco del punto che lo rappresenta.

Esempio: rappresentare l’insieme delle lettere che formano la parola: missione.

2) Rappresentazione tabulare

La rappresentazione tabulare consiste nell’elencazione dei nomi degli elementi tra parentesi graffe.

Esempio:

A = {1; 3; 5; 7}

Si legge: l’insieme A formato dagli elementi 1, 3, 5, 7.

3) Rappresentazione caratteristica

La rappresentazione caratteristica di un insieme consiste nell’enunciazione di una proprietà che ne caratterizza di elementi.

Esempio:

A = {x|x Î N, 7 < x < 12}

Si legge: l’insieme A formato dagli elementi x tali che essi appartengano all’insieme dei numeri naturali e siano maggiori di 7 e minori di 12.

Insieme vuoto

Consideriamo “l’insieme di tutte le persone più alte di 30 metri”. Ci rendiamo conto subito che un tale insieme non avrà alcun elemento. Si dirà quindi che è un insieme vuoto e si potrà indicare con il simbolo:

Ø oppure { }

Tutti gli insiemi vuoti sono equivalenti.

Unione e intersezione tra insiemi

Tra gli insiemi si possono definire alcune operazioni. Le più importanti sono quelle di unione ed intersezione.

Unione

Si definisce unione di due insiemi A e B l’insieme di tutti gli elementi appartenenti ad A o a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati.

Il simbolo dell’unione è È, quindi A È B si legge “A unito B”.

Unione tra due insiemi rappresentata con un diagramma di Eulero-Venn

Intersezione

Dati due insiemi A e B, si chiama intersezione tra A e B l’insieme degli elementi appartenenti contemporaneamente sia ad A che a B.

Il simbolo dell’intersezione è Ç, quindi A Ç B si legge “A intersecato B”.

Intersezione tra due insiemi rappresentata con un diagramma di Eulero-Venn

Insieme delle parti

Dato un insieme A, si definisce insieme delle parti di A quell’insieme, indicato con P(A), che ha per elementi tutti i possibili sottoinsiemi di A.

Esempio:

A = {a, b, c}

P(A) = {Ø, A; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}}

Prodotto cartesiano tra insiemi

Dati due insiemi A e B, chiamiamo insieme prodotto di A per B o prodotto cartesiano di A per B, l’insieme di tutte le possibili coppie ordinate (a; b) aventi per prima componente un elemento a Î A e per seconda componente un elemento b Î B.

A x B si legge “A per B”, oppure “A cartesiano B”

Esempio:

A = {a, b, c}

B = {x, y}

A x B = {(a; x), (a; y), (b; x), (b; y), (c; x), (c; y)}

Insiemi infiniti

Non tutti gli insiemi hanno un numero di elementi finiti. In tal caso si diranno che sono insiemi infiniti. Per una trattazione rigorosa del concetto di infinito in matematica, vi consiglio di visitare questo tutorial di matematica sugli insiemi finiti ed infiniti. Scoprirete che il concetto di infinito è ancora più affascinante di quanto si possa credere.

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