Le disposizioni semplici

 

Cosa sono le disposizioni semplici? Per capirlo subito, prima ancora di darne una definizione matematica, consideriamo un esempio. Una persona possiede cinque quadri, ma può appenderne solo tre lungo una parete. Ha importanza anche l’ordine con cui vengono appesi per questioni di colore e di luce. Calcoliamo in quanti modi può appenderli.

Indichiamo i cinque quadri con le lettere P, Q, R, S, T.

Per scrivere tutti i raggruppamenti possibili, iniziamo considerando ognuno dei quadri:

P Q R S T (cinque possibilità).

A ognuno affianchiamo poi, uno alla volta, gli altri elementi procedendo da sinistra verso destra.

PQ QP RP SP TP

PR QR RQ SQ TQ

PS QS RS SR TR

PT QT RT ST TS

(5 · 4 = 20 possibilità).

Per ottenere i raggruppamenti finali affianchiamo a ogni coppia, uno alla volta, gli altri elementi di P Q R S T, sempre procedendo da sinistra verso destra.

PQR PQS PQT QPR QPS QPT RPQ RPS RPT

PRQ PRS PRT QRP QRS QRT RQP RQS RQT

PSQ PSR PST QSP QSR QST RSP RSQ RST

PTQ PTR PTS QTP QTR QTS RTP RTQ RTS

SPQ SPR SPT TPQ TPR TPS

SQP SQR SQT TQP TQR TQS

SRP SRQ SRT TRP TRQ TRS

STP STQ STR TSP TSQ TSR

(5 x 4 x 3 = 60 possibilità).

Notiamo che ogni terna di quadri si distingue dalle altre per due motivi. Ogni gruppo è diverso dagli altri

- per almeno un elemento,

- per l’ordine degli elementi,

oppure per entrambi i motivi.

Chiamiamo i gruppi con le caratteristiche indicate col nome di disposizioni semplici.

Per arrivare rapidamente al calcolo del numero di disposizioni, consideriamo che per il primo posto le possibilità sono 5, per il secondo si sono ridotte a 4 e infine per il terzo a 3. Complessivamente i gruppi sono:

5 · 4 · 3 = 60.

Per indicare il valore trovato, usiamo la seguente notazione:

D_5,3 = 60

(si legge: “disposizioni semplici di 5 elementi di classe 3”).

Generalizziamo il procedimento considerando n oggetti distinti e determiniamo la formula per i raggruppamenti di classe k:

k = 1, D_n,1 = n,

k = 2, D_n,2 = n · (n - 1),

k = 3, D_n,3 = n · (n - 1) · (n – 2),

k = 4, D_n,4 = n · (n - 1) · (n – 2) · (n – 3).

In generale,

D_n,k = n · (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · … · (n – k + 1).

Osserviamo che il numero delle disposizioni semplici di n oggetti di classe k si ottiene moltiplicando fra loro tanti fattori in ordine decrescente di 1, a partire da n, quanti sono gli oggetti che formano una classe. Per esempio, per calcolare D_8,3 scriviamo in ordine decrescente 3 fattori a partire dal numero 8:

D_8,3 = 8 · 7 · 6 = 336.

A questo punto possiamo dare la seguente:

DEFINIZIONE

Disposizioni semplici

Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k (con k ≤ n) sono tutti i gruppi di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un elemento o per l’ordine con cui gli elementi sono collocati.

D_n,k = n · (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · … · (n – k + 1).

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