mercoledì 30 marzo 2011

Velocità di caduta di un corpo

 

A che velocità cade un oggetto se trascuriamo l’attrito dell’aria? Per trovare questa velocità possiamo ragionare in termini di conservazione dell’energia meccanica.

L’energia meccanica è definita come la somma tra l’energia cinetica e l’energia potenziale gravitazionale, cioè:

dove m è la massa del corpo, v è la sua velocità, g è l’accelerazione di gravità (sulla Terra è circa 9,8 m/s2) e h è l’altezza del corpo stesso rispetto ad un livello di riferimento.

Se non c’è attrito l’energia meccanica resta costante in ogni istante. Quindi si deve avere:

Ciò significa che durante la caduta del corpo, quando l’energia potenziale gravitazionale diminuisce, perché h diminuisce durante la caduta, l’energia cinetica deve aumentare proporzionalmente affinché la sua somma con l’energia potenziale possa restare costante.

Se immaginiamo il corpo fermo ad una certa altezza h, la sua energia meccanica iniziale sarà:

lo zero compare perché l’energia cinetica in questo istante è zero, visto che il corpo è fermo. All’inizio quindi l’energia meccanica è tutta energia potenziale gravitazionale.

Facciamo cadere il corpo e a questo punto, mentre l’energia cinetica aumenta, l’energia potenziale diminuisce. Nell’istante in cui il corpo raggiunge il “terreno”, cioè il livello di riferimento, l’energia cinetica diventa massima e l’energia potenziale diventa uguale a zero, perché h=0. Quindi avremo che l’energia meccanica finale sarà:

lo zero rappresenta l’energia potenziale gravitazionale, che come avevo detto prima, in questo istante è zero.

Poiché, per la conservazione dell’energia meccanica, deve essere:

risulterà che:

Eliminando la massa da entrambi i membri dell’equazione e risolvendo rispetto alla velocità, otteniamo:

che è proprio la velocità di caduta di un corpo da un’altezza h. Notiamo che la velocità di caduta dipende solo dall’accelerazione di gravità e dall’altezza di caduta e non dipende affatto dalla massa.

Nel vuoto i corpi cadono tutti con la stessa velocità (se partono dalla stessa altezza) indipendentemente dalla massa che possiedono (come aveva già intuito Galileo Galilei nel 1600). In presenza di atmosfera questo risultato non si ottiene semplicemente perché l’attrito dell’aria rallenta i corpi a secondo della loro massa, forma e superficie. La formula precedente quindi vale come buona approssimazione solo per corpi che hanno una massa abbastanza grande e che non cadono da altezze troppo elevate.

In questo filmato possiamo vedere una famosa sequenza relativa alla missione Apollo 15, in cui l’astronauta David Scott lascia cadere un martello ed una piuma e verifica che toccano terra contemporaneamente. La mancanza di atmosfera della Luna ha permesso di osservare quanto detto prima sulla velocità di caduta dei corpi in assenza di attrito.

Buona visione del filmato.

Velocità di caduta nel vuoto


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