martedì 31 marzo 2009

Parabola

 

Definizione:

La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto che si dice fuoco e da una retta che si dice direttrice.

La distanza del fuoco dalla direttrice si dice parametro, il punto medio di quella distanza si dice vertice della parabola e la retta condotta per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si dice asse della parabola.

Quindi nella parabola di equazione:

parabola

● il vertice è il punto (0; 0);

● la direttrice è la retta di equazione:

direttrice

● il fuoco è il punto (0; 1/4a);

● l’asse y è asse di simmetria per la parabola.

L’equazione:

equazione_parabola

Rappresenta una parabola il cui vertice è il punto di coordinate:

vertice_parabola

il cui asse di simmetria è la retta, parallela all’asse y, di equazione:

asse_parabola

il cui fuoco è il punto di coordinate:

fuoco_parabola

e la cui direttrice è la retta, parallela all’asse x, di equazione:

direttrice_parabola

Su questi risultati possiamo fare alcune osservazioni importanti:

■ se nell’equazione precedente a > 0, allora il vertice della parabola è il punto che ha la minima ordinata; in questo caso si dice che la parabola “volge la concavità verso l’alto”;

■ se a < 0, invece il vertice della parabola è il punto che ha massima ordinata; in questo caso si dice che la parabola “volge la concavità verso il basso”;

■ Con l’aumentare, in valore assoluto, del coefficiente a, la parabola risulta meno aperta, come si può constatare disegnando i grafici di due parabole aventi un diverso valore di a.

■ Il coefficiente b è legato alla posizione dell'asse della parabola (la retta verticale passante per il punto di ascissa), che ha equazione:

asse_parabola

■ Il termine noto c della funzione:

equazione_parabola

rappresenta l’ordinata del punto di intersezione della corrispondente parabola con l’asse delle y.

E’ possibile definire la parabola anche rispetto all’asse x, con questa equazione:

equazione_parabola2

in questo caso avremo:

Vertice:

vertice_parabola2

Asse di simmetria:

asse_parabola2

Fuoco:

fuoco_parabola2

Direttrice:

direttrice_parabola2

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