Il Potere Della Fantasia: Matrici e determinanti

mercoledì 4 marzo 2009

Matrici e determinanti

Detti m ed n due numeri interi positivi e considerati m*n numeri reali, si chiama matrice (rettangolare) di tipo (m, n) l’insieme degli m*n numeri considerati, disposti ordinatamente su m righe orizzontali e su n colonne verticali, tabulati come nello schema che segue:

I numeri reali racchiusi nella tabella si dicono elementi della matrice e sono rappresentati da una lettera munita di due indici: il primo indice fornisce la riga a cui appartiene l’elemento e il secondo la colonna.

Ad esempio, l’elemento a32 si trova all’incrocio tra le terza riga e la seconda colonna. Le righe e le colonne si contano a partire dall’alto e da sinistra.

Le matrici si indicano di solito con le lettere maiuscole e si scrive, sinteticamente:

con i = 1, 2, … m; k = 1, 2, …n.

Se m = n si ha una matrice quadrata (di ordine n).

Esempio:

esempio matrice 2

sono rispettivamente una matrice rettangolare di tipo (2, 3) e una matrice quadrata di ordine 3. Con ovvio significato dei simboli, si ha, ad esempio. a22 = 3, a23 = –1, b12 = 0, b11 = 1/2.

Determinante di una matrice quadrata

A una matrice quadrata può essere associato un valore numerico, detto determinante. Alle matrici rettangolari di tipo (m, n), con m diverso da n, invece non viene associato alcun valore numerico.

Sia dunque:

una matrice quadrata di ordine n. Il suo determinante verrà indicato con uno dei seguenti simboli

determinante di una matrice

Nel caso particolare di una matrice quadrata di ordine 1, cioè A = [a11], si pone:

det A = |A| = |a11| = a11

(attenzione a non confondere il simbolo di determinante con quello di modulo).

Nel caso delle matrici quadrate di ordine 2, il determinante si definisce nel seguente modo:

Esempio:

Calcoliamo il determinante della seguente matrice:

Si ha immediatamente:

|A| = 2*8 – 3*5 = 1

Per i determinanti di ordine 3, si segue la cosidetta Regola di Sarrus, valida solo per i determinanti del 3° ordine.

A destra della matrice data si riscrivono, di seguito è nell’ordine, la prima e la seconda colonna;

si calcolano tutti i prodotti lungo le diagonali

e si sommano i risultati:

a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32

di nuovo, si eseguono tutti i prodotti lungo le diagonali

poi si cambiano di segno e si sommano algebricamente i risultati:

- a13 a22 a31 - a23 a32 a11 - a33 a12 a21

Alla fine risulta:

det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 +
- a13 a22 a31 - a23 a32 a11 - a33 a12 a21

Determinanti di ordine n

Il determinante di una qualsiasi matrice di ordine n è dato dalla somma dei prodotti degli elementi di una linea qualsiasi (riga o colonna) per i rispettivi complementi algebrici.

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