Sistemi di equazioni di primo grado

 

Risolvere un sistema di equazioni di primo grado non è difficile, se sappiamo esattamente dove mettere le mani. In questo articolo sto considerando sistemi di due equazioni di primo grado a due incognite, detti anche sistemi lineari di due equazioni in due incognite.

Trovare la soluzione di un tale sistema significa trovare i valori numerici che soddisfano contemporaneamente le due equazioni. In parole povere dobbiamo trovare i numeri che vanno bene per entrambe le equazioni.

Per dirlo in maniera rigorosa possiamo ricorrere a questa definizione:

Si chiama sistema di equazioni, nelle stesse incognite, un insieme di equazioni considerate simultaneamente, con lo scopo di sapere se hanno, oppure no, soluzioni comuni e, in caso affermativo, di determinarle.

In pratica come facciamo a risolvere il nostro sistema?

Procediamo prima di tutto con il caso generale.

Supponiamo che i coefficienti delle incognite del sistema:

siano tutti diversi da zero.

In questo caso si può dimostrare che:

Il sistema lineare è:

- determinato, se ab’ – a’b <> 0

- impossibile, se ab’ – a’b = 0 e cb’ – c’b <> 0;

- indeterminato, se ab’ – a’b = 0 e cb’ – c’b = 0.

Quindi questi sono i tre casi che si possono verificare. Naturalmente essi valgono anche quando dovesse capitare che i coefficienti non sono tutti diversi da zero.

Se il sistema è determinato, le soluzioni x e y sono date dalle formule:

Nella pratica è difficile ricordare le due formule precedenti, quindi è meglio ricorrere ad altri procedimenti.

Esistono quattro metodi per risolvere i sistemi di primo grado e sono:

1) Metodo di sostituzione;

In questo caso, una volta che le due equazioni sono state ridotte a “forma normale” cioè sono di questo tipo:

possiamo risolvere una delle due equazioni rispetto a una delle variabili, in questo modo:

e sostituirla nella seconda equazione, in questo modo:

Ora la seconda equazione dipende solo dalla variabile y e la possiamo risolvere:

Ora che abbiamo trovato la y, possiamo di nuovo sostituirla nella prima equazione:

E semplificando troviamo anche la variabile x:

Che non sono altro che le soluzioni fornite all’inizio.

Esempio:

Ricaviamo la x dalla prima equazione:

sostituiamo nella seconda

Poi moltiplichiamo e portiamo le variabili al primo membro e i coefficienti al secondo:

adesso sommiamo e risolviamo rispetto alla y:

Adesso anche abbiamo trovato la y, la sostituiamo nella prima equazione:

Ed ecco la soluzione:

 

2) Metodo del confronto;

Le due equazioni vengono risolte entrambe rispetto alla variabile x e poi, visto che i primi membri sono uguali (sono entrambi x), ne segue che anche i secondi membri lo sono.

da cui segue:

 

In cui la prima equazione contiene la sola variabile y.

 

Esempio:

Ricavando la x da entrambe le equazioni, si ottiene:

ed eguagliando i due valori:

Risolvendo la prima equazione, solo nella variabile y:

alla fine si ottiene:

e sostituendo –1 alla y:

La soluzione pertanto è: x = 3; y = –1.

3) Metodo di addizione (o della combinazione lineare);

Il metodo consiste nel trasformare il sistema:

nel sistema equivalente:

 

Esempio:

Risolviamo il sistema:

per eliminare la x si moltiplicano i termini della prima equazione per 2 e quelli della seconda per –3:

da cui, sommando membro a membro:

per eliminare la y si moltiplicano i termini della prima equazione per 3 e quelli della seconda per 5:

sommando membro a membro, si ottiene:

queste due equazioni ottenute, riunite, dànno il sistema:

 

4) Metodo di Cramer.

Anche in questo caso le equazioni devono essere in forma normale.

Con i coefficienti a, b, a’ e b’ possiamo costruire il determinante del sistema:

Se D è diverso da zero, il sistema ammette soluzioni, quindi possiamo calcolare i determinanti della x e della y, nel seguente modo:

 

Le soluzioni del sistema saranno date dalle formule:

 

Esempio:

(è lo stesso sistema degli esempi precedenti)

Vediamo che:

Il determinante del sistema è diverso da zero, quindi possiamo procedere a calcolare le soluzioni, che in base a quanto illustrato prima sono:

Che è appunto la soluzione ottenuta con tutti gli altri metodi.

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Oggi comincia la primavera astronomica. Quella meteo invece sembra lontana…

 

Oggi il Sole attraversa l’equatore celeste alle ore 11:44 di Tempo Universale. Questo fenomeno celeste prende il nome di Equinozio di Primavera e coincide con il primo giorno di primavera nell’emisfero nord e con il primo giorno di autunno nell’emisfero sud.

La caratteristica peculiare del giorno dell’equinozio è che il giorno e la notte hanno la stessa durata. pari a 12 ore. Infatti l’etimologia (dal latino) del termine “equinozio” è aequi = uguale e nox = notte.

Nell’emisfero nord le notti a partire da questo giorno diventano rapidamente sempre più brevi, fino a raggiungere la minima durata il giorno del Solstizio estivo (21 giugno).

E’ evidente che localmente l’inizio della primavera (o di qualsiasi altra stagione astronomica) non coincide sempre con l’inizio della corrispondente stagione metereologica. Oggi 20 marzo 2009, ad esempio il Italia c’è brutto tempo quasi dovunque.

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Le prime 1000 cifre di pi greco

 

Questa ragazza recita in circa novanta secondi le prime 500 cifre del numero pi greco. Pi greco è un numero che rappresenta il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro. E’ un numero irrazionale e trascendente, formato da infinite cifre dopo la virgola. Probabilmente è il più famoso numero della matematica e sono moltissime le formule di Matematica, Geometria, e Fisica in cui pi greco compare.

A proposito, queste invece sono le prime 1000 cifre di pi greco:

3.141592653589793238462643383279502884197169399375
10582097494459230781640628620899862803482534211706
79821480865132823066470938446095505822317253594081
28481117450284102701938521105559644622948954930381
96442881097566593344612847564823378678316527120190
91456485669234603486104543266482133936072602491412
73724587006606315588174881520920962829254091715364
36789259036001133053054882046652138414695194151160
94330572703657595919530921861173819326117931051185
48074462379962749567351885752724891227938183011949
12983367336244065664308602139494639522473719070217
98609437027705392171762931767523846748184676694051
32000568127145263560827785771342757789609173637178
72146844090122495343014654958537105079227968925892
35420199561121290219608640344181598136297747713099
60518707211349999998372978049951059731732816096318
59502445945534690830264252230825334468503526193118
81710100031378387528865875332083814206171776691473
03598253490428755468731159562863882353787593751957
78185778053217122680661300192787661119590921642019...

Qualche volta dovrei fare la prova di impararle a memoria :-)

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