Il Potere Della Fantasia

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Nasce la statistica

La statistica, o meglio, i primi rilevamenti di dati statistici risalgono a tempi abbastanza lontani e sono legati alla naturale esigenza dell'uomo di catalogare tutto quanto lo circonda, per potere avere del mondo circostante una conoscenza più scientifica che meglio lo aiuti a risolvere i principali bisogni della sua vita.

I primi rilevamenti statistici vennero effettuati infatti per scopi commerciali, fiscali, astronomici ecc.
È mediante un'accurata raccolta di dati statistici che gli Egizi, ad esempio, arrivarono a prevedere l'inizio e la fine delle piene del fiume Nilo, riuscendo così a trasformare queste periodiche inondazioni da calamità naturali a fattori di sviluppo economico per l'intero paese.

A Roma, al tempo dei re, la statistica diventò un importante strumento di conoscenza della situazione economica e sociale dei cittadini; nacque infatti il census, il censimento dei cittadini e dei loro beni.
Dal XVI secolo in poi il rilevamento dati acquistò un notevole sviluppo come indagine sugli aspetti e le attività dello Stato, da cui il nome "statistica", e anche sui fenomeni legati all'astronomia.

I matematici se ne occupano a partire dal XVII secolo, quando la statistica venne accostata ai metodi e ai calcoli della probabilità.
Un notevole contributo allo sviluppo della statistica si deve infatti al matematico francese Pierre Simon Laplace (1749-1827) e
al suo trattato sulla probabilità, Thèorie analytique des probabilités.

Le basi della moderna statistica sono però merito del matematico e sociologo belga Adolphe Quetelet (1796-1874) che ne fece un scienza di indagini svolte con procedimenti propri e affiancate da calcoli matematici.
Nel 1885 a Londra nacque l'Istituto Internazionale di Statistica e dal 1926 in Italia l'ISTAT si occupa di indagini statistiche su vari settori della vita sociale, commerciale, finanziaria, politica ecc.

L'epoca attuale vede un'avanzata matematizzazione della statistica e delle sue applicazioni, soprattutto nelle ricerche di mercato, che consistono nel ricercare i fattori che possono ottimizzare i problemi commerciali, industriali, finanziari ecc.

Ritratto di Pierre Simon Laplace.

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Baratto, monete e mercanti

I nostri antenati, inizialmente, traevano dalla natura i prodotti di cui avevano bisogno; quando però le comunità divennero abbastanza grandi, le risorse naturali non furono più sufficienti e nacquero così le primitive forme di "attività commerciale", il cui primo tipo fu il baratto diretto.
Tale attività commerciale consisteva nello scambio diretto di prodotti alimentari o beni di prima necessità. Ciò avveniva nei mercati, luoghi in cui si portava la merce che si intendeva scambiare e dove avveniva lo scambio.
Con l'intensificarsi dei contatti fra le diverse comunità, il baratto diretto divenne però scomodo e si sentì il bisogno di un sistema più stabile e oggettivo di valutazione, fondato su campioni fissi in base ai quali stimare altri valori.
Nacque pian piano l'idea di unità di baratto, un campione fisso in base al quale stimare il valore della merce che si offriva o si cercava.
Le prime unità di baratto furono animali (il bue), gusci di tartaruga, pelli, arnesi di pietra, conchiglie e gioielli; spesso però tale metodo presentava difficoltà di applicazione, specie con il progredire dello sviluppo economico.
Si arrivò così all'uso dei metalli (rame, bronzo e poi oro e argento) trasformati in lingotti, in arnesi o in armi e, quando si riuscì a fondere il metallo in piccoli pezzi, nacque la moneta, con il marchio delle autorità del tempo, che ne garantiva "il giusto peso e la buona lega".

Moneta d'argento da Metaponto.

Una dracma ateniese con il simbolo della civetta, l'uccello sacro ad Atena, dea protettrice della città.

aes signatum

denario d'argento

aureo

Il denaro dei Romani: dalle prime "monete" (aes signatum) alle monete di età repubblicana.
La moneta segnava la nascita del moderno scambio commerciale e, per gli evidenti vantaggi che dava, si diffuse presso tutti i popoli.
Contemporaneamente nacque la figura del mercante che, intorno al XIII-XIV secolo, non era solo la persona dedita al commercio, ma il banchiere, l'armatore, il cambiavalute, l'importatore ed esportatore, l'assicuratore...

Interno di una bottega in epoca medioevale.

Matematici del tempo, quali Fibonacci e Luca Pacioli, con le loro opere di carattere pratico e rivolte, in particolare, verso le esigenze tecniche della contabilità, contribuirono alla nascita delle scuole d'abaco, per la formazione dei mercanti.
In queste scuole i futuri mercanti imparavano a far di conto, a risolvere problemi relativi all'attività commerciale, a saper valutare pesi e volumi delle merci, ad operare scambi di monete ecc.
Venivano insegnate proprio quelle discipline che ai nostri giorni corrispondono alla tecnica mercantile e alla matematica finanziaria, due scienze vere e proprie che trattano tutto quello che riguarda il commercio (contratti, documenti contabili, trasporto e consegna merci, modalità di pagamento ecc.) e le attività commerciali in genere (problemi di società, ripartizione utili, rapporti bancari).

Ritratto di Luca Pacioli, di Anonimo, Napoli, Museo Nazionale di Capodimonte.

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giovedì 17 settembre 2009

I numeri negativi: finti e assurdi

Molto sofferta è la storia dei numeri negativi; infatti, la loro introduzione nell'ambito degli studi matematici non è stata per nulla semplice.
Pensare che i numeri negativi fossero il risultato di un'operazione quantitativamente impossibile, quale togliere da una quantità una quantità più grande, ai nostri antenati risultava infatti un'operazione difficile da accettare.
Ma anche gli stessi matematici ne furono per lungo tempo proprio... diffidenti.
Il primo a parlare di numeri sottrattivi, i nostri numeri negativi, fu Diofanto nel III secolo d.C. Questi numeri però vennero usati solo per indicare... debiti finanziari e nessun matematico di allora ne fece mai cenno.
Bisogna arrivare all'inizio del VII secolo per sentir parlare nuovamente di numeri negativi.
In particolare ne parlano Brahmagupta (600 d.C.), matematico indiano, che nelle sue opere accenna anche alle "regole per operare su di essi come numeri veri e propri", e Al-Khuwarizmi (IX secolo d.C.), matematico arabo.
Si arriva così al Rinascimento; gli studi matematici progrediscono notevolmente, ma i numeri negativi... continuano ad essere snobbati.
Ne parla diffusamente il matematico italiano Gerolamo Cardano in un suo trattato, La grande opera, dove però definisce i numeri positivi numeri veri e i numeri negativi numeri finti.
Nello stesso periodo ne parla il matematico tedesco Michael Stiefel che li definisce numeri assurdi.
Tutta questa diffidenza non permetteva ancora l'ingresso di questi numeri nella matematica "ufficiale".
Furono i grandi matematici del Seicento (fra i quali gli italiani Galileo, Cavalieri, Viviani, i francesi Cartesio, Fermat, Pascal, l'olandese Huygens, gli inglesi Wallis, Newton, e il tedesco Leibniz) che finalmente li introdussero nei loro studi con una trattazione completa e dignità pari a quella dei numeri naturali e razionali.
Con Cartesio, in particolare, i numeri negativi diventano addirittura indispensabili nella rappresentazione dei punti nel piano.

Frontespizio di La Grande Opera di Gerolamo Cardano.

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mercoledì 16 settembre 2009

La scoperta dei numeri irrazionali

La scoperta dei numeri irrazionali avvenne più di 2500 anni fa ad opera dei pitagorici, studiosi greci della famosa Scuola pitagorica (dal nome del suo fondatore Pitagora), e fu una scoperta che suscitò fra gli stessi studiosi sorpresa e sgomento.
La Scuola pitagorica poneva al centro del suo pensiero il numero, che non rappresentava solo l'espressione di una quantità, ma costituiva "l'elemento dell'Universo". Tutta la realtà fisica si fondava, infatti, sui numeri naturali e sul loro rapporto; questi numeri erano considerati i soli in grado di legare grandezze geometriche e misure.
Per i pitagorici, quindi, ogni misura si poteva esprimere solo con un numero naturale o con il rapporto tra due numeri naturali, cioè un numero razionale.
Questa certezza però crollò miseramente quando gli stessi pitagorici scoprirono che in un quadrato di lato 1, la misura della diagonale non si poteva esprimere con un numero naturale o razionale.
L'applicazione del famoso teorema del loro maestro, il teorema di Pitagora, stabiliva infatti che tale misura era uguale a radice di 2 e i pitagorici furono costretti ad ammettere che non esiste alcun numero naturale il cui quadrato sia uguale a 2.
Si trattava di una scoperta incredibile: la misura di un ente geometrico reale, la diagonale di un quadrato, è costituita da un numero che "non esiste"!
Il carattere scandaloso di questa scoperta fu un durissimo colpo per la matematica pitagorica e per i pitagorici costituì uno dei segreti più gelosamente custoditi.
Non mancò tuttavia un discepolo infedele che osò tradire il segreto rivelandolo ad estranei. Pitagora lo cacciò maledicendolo; il segreto era stato però rotto e il concetto di "irrazionale" uscì dall'ambito della scuola.
Per ricostruire tutto quanto era stato formulato attorno ai numeri e così miseramente crollato, i pitagorici svilupparono allora una teoria che potesse stabilire delle proporzioni tra queste grandezze che però si rifiutarono di definire numeri. Questi strani enti geometrici furono quindi chiamati alogas, ovvero indicibili, inesprimibili.
Si dovettero aspettare quasi 2000 anni perché queste entità entrassero a far parte del mondo dei numeri e perché, ad esempio, il famoso numero il cui quadrato è 2 diventasse il numero irrazionale radice di 2.
È molto recente infatti l'introduzione del calcolo con i numeri irrazionali e la si deve principalmente al matematico tedesco Richard Dedekind (1831-1916) e al matematico russo Georg Cantor (1845-1918).

Georg Cantor all'Università di Halle, 1894, BNF, Parigi.

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