I numeri complessi

Com’è possibile che –1 possa avere una radice quadrata? Il quadrato di un numero positivo è sempre positivo e il quadrato di un numero negativo è ancora positivo (mentre il quadrato di 0 è ancora 0). Sembra impossibile poter trovare un numero il cui quadrato sia realmente negativo.

In realtà tutto ciò che occorre fare è introdurre una singola quantità, che chiamiamo i, il cui quadrato è –1, e aggiungerla al sistema dei numeri reali per formare espressioni della forma

a + ib

dove a e b sono numeri reali arbitrari. Una qualsiasi di queste combinazioni è chiamata numero complesso. La quantità i invece viene chiamata unità immaginaria.

Nell’immagine sotto possiamo vedere la situazione dal punto di vista insiemistico. L’insieme dei numeri complessi include l’insieme dei numeri immaginari e quello dei numeri reali che hanno come elemento di intersezione l’elemento zero.

E’ facile capire come sommare due numeri complessi:

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

che è nella stessa forma di prima (con i numeri reali a + c e b + d che prendono il posto degli a e b dell’espressione originaria). E per la moltiplicazione? Questa è altrettanto facile. Troviamo il prodotto di a+ib per c+id. Moltiplichiamo semplicemente questi fattori, sviluppando l’espressione con le consuete regole dell’algebra:

(a + ib)(c + id) = ac + ibc + aid + ibid = ac + i(bc + ad) + i²bd

Ma i² = –1, così possiamo scrivere che

(a + ib)(c + id) = (ac – bd) + i(bc + ad)

che è ancora della forma a + ib, ma ac – bd al posto di a e bc + ad al posto di b.

La sottrazione di due numeri complessi è abbastanza facile, ma la loro divisione? Cerchiamo ora di dividere il numero complesso a + ib per il numero complesso c + id. Quest’ultimo numero non deve essere zero, il che significa che i numeri reali c e d non possono essere entrambi zero. Per tale ragione c² + d² > 0, quindi c² + d² ≠ 0, cosicché possiamo dividere per c² + d². E’ un semplice esercizio verificare che (moltiplicando ambedue i lati dell’espressione qui sotto per c + id)

$\frac{a+ib}{c+id}=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+i\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}$

Questa ha la stessa forma generale di prima, quindi è ancora un numero complesso.

Queste ovviamente sono solo le basi dei numeri complessi. In realtà i numeri complessi ci aprono un intero mondo straordinario che ha applicazioni anche in Fisica ed Ingegneria. Per approfondimenti potere consultare i seguenti documenti pdf scaricabili qui e qui.

Per chi non ha paura dell’inglese questa playlist di YouTube mostra delle lezioni interessanti sui numeri complessi. Buona visione.

http://www.youtube.com/view_play_list?p=BBA07CCF07E9D261

Tag di Technorati: numeri complessi,numero complesso,unità immaginaria,radice quadrata di meno uno,numero reale

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