Teorema di Lagrange o del valore medio

Se f(x) è una funzione continua nell’intervallo chiuso [a, b] e derivabile in (a, b), allora esiste almeno un punto c interno ad [a, b] tale che risulti:

Dimostrazione.

A tale scopo, scriviamo la funzione ausiliaria:

g(x) = f(x) + kx

dove k è una costante che determineremo in modo che la funzione g(x) verifichi la terza condizione del teorema di Rolle, cioè:

g(a) = g(b)

ossia:

f(a) + ka = f(b) + kb

da cui:

                (1) 

Ora la g(x), ove si tengano presenti le ipotesi fatte sulla f(x), è continua nell’intervallo chiuso [a, b] e derivabile in (a, b), perché somma di funzioni continue in [a, b] e derivabili in (a, b).

Possiamo perciò applicare alla funzione g(x), nell’intervallo [a, b], il teorema di Rolle. Esiste quindi un punto c interno ad [a, b] per il quale è:

g’(c) = f’(c) + k = 0

cioè:

f’(c) = -k

da cui, tenendo presente il valore di k dato dalla relazione (1), si ottiene:

 

Geometricamente il teorema di Lagrange si interpreta dicendo:

Se un arco di curva continua è dotato di tangente in ogni suo punto, esclusi al più gli estremi, esiste almeno un punto interno all’arco nel quale la tangente è parallela alla corda che congiunge i punti estremi dell’arco.

Nell’immagine sotto possiamo vedere quanto enunciato:

Infatti la tangente nel punto c (in viola) è parallela alla corda ab (in verde) che congiunge gli estremi dell’arco di curva (in rosso).

La dimostrazione del teorema fu data da Lagrange nel 1801, che lo considerava tuttavia un corollario della formula di Taylor. La deduzione del teorema di Rolle sembra sia stata fatta per primo da Bonnet (intorno al 1850).

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