Un'equazione di secondo grado si presenta nella forma:
dove a, b, c sono numeri appartenenti all'insieme dei numeri reali. Il coefficiente a è l'unico che deve essere obbligatoriamente diverso da zero, altrimenti l'equazione precedente diventerebbe bx + c = 0, che è un'equazione di primo grado. Le equazioni di secondo grado ammettono due soluzioni reali, distinte o coincidenti, oppure non ammettono soluzioni reali.
Si possono presentare tre casi diversi:
1) il coefficiente c è uguale a zero
L'equazione diventa:
In questa forma l'equazione si può risolvere facilmente eseguendo un raccoglimento totale della x, in questo modo:
che equivale alle due equazioni:
e
quest'ultima è un'equazione di primo grado la cui soluzione è
Riassumendo: quando c = 0, le soluzioni sono x = 0 e x = -b/a.
2) Il coefficiente b è uguale a zero
L'equazione diventa:
In questa forma l'equazione si può risolvere con la radice quadrata:
Se a e c hanno lo stesso segno, l'equazione non ammette soluzioni nei numeri reali, perché in R non è possibile estrarre la radice quadrata di un numero negativo. Se a e c hanno segno opposto, allora la soluzioni sono date dalla formula precedente.
3) I coefficienti a, b, c sono tutti diversi da zero
L'equazione quindi è completa:
Per trovare le soluzioni di questa equazione è necessario prima calcolare il cosidetto Delta:
a) se delta < 0
L'equazione non ammette soluzioni nell'insieme dei numeri reali
b) se delta = 0
l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti, date da:
c) se delta > 0
le soluzioni sono date dalla formula:
si tratta di due soluzioni reali e distinte.
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