12 immagini di meravigliosi frattali

Insieme di Mandelbrot I frattali sono degli oggetti geometrici molto particolari. Le forme geometriche che di solito si studiano a scuola di dividono in figure piane (come il quadrato o il triangolo) e in figure solide (cubo, piramide, sfera, ecc…). Ci sarebbero anche la retta e il punto. La retta sarebbe una figura con una sola “dimensione”, infatti è determinata solo dalla sua lunghezza. Il punto non ha “dimensioni”. Riassumendo le figure geometriche possono avere una dimensione (retta), due dimensioni (quadrato, triangolo, poligoni, ecc…) e tre dimensioni (cubo, parallelepipedo, sfera, ecc…).

Ma non possono esistere figure geometriche che hanno dimensione 1,5 ad esempio? Cioè delle figure che sono più di una linea, ma meno di una superficie? Sarebbe un’assurdità? Invece tali figure esistono e sono proprio i frattali.

Per capire meglio di cosa si sta parlando facciamo un esempio. Consideriamo una costa sul mare. Su una mappa geografica la costa viene disegnata come una linea, quindi come un oggetto a una dimensione (la lunghezza). Ma quanto è lunga una costa?

Supponiamo di misurarla con il passo di un gigante. Questo gigante fa passi lunghi un chilometro. Questo significa che potrà saltare tutte le piccole insenature, le baie e tutte le irregolarità. Dopo la misura di una parte della costa il gigante avrà trovato, supponiamo, una lunghezza di 30 chilometri.

Adesso invece la misuriamo con il passo di un uomo normale, quindi circa un metro. L’uomo ovviamente dovrà misurare anche il contorno delle piccole insenature, degli scogli sporgenti, delle baie e di tutte le irregolarità più grandi di un metro. Quale sarà la lunghezza stavolta? Ovviamente sarà maggiore dei 30 chilometri misurati dal gigante.

E se la misuriamo con un passo di formica? Ovviamente la lunghezza sarà ancora maggiore, perché la formica dovrà girare attorno a ciascun sassolino e ad ogni piccola irregolarità. Questo processo può continuare all’infinito e ogni volta non si riesce a “cogliere” mai la lunghezza di una costa. La costa infatti non è una linea normale, ma è un frattale. E’ più di una linea, ma meno di una superficie.

Un’altra caratteristica dei frattali è che se li ingrandiamo, otteniamo sempre la stessa struttura. Questa caratteristica si chiama auto-similitudine. Quindi un frattale può essere ingrandito all’infinito. (Come possiamo vedere nel seguente filmato).

Nelle immagini seguenti possiamo vedere che i frattali hanno ancora un’altra inaspettata caratteristica: la straordinaria bellezza. Secondo alcuni la bellezza è qualcosa di metafisico, ma secondo i matematici la bellezza invece è definibile attraverso particolari simmetrie matematiche e geometriche.

Come fare a darli torto guardando immagini di frattali come questi? :-)