Il modello di Klein di geometria iperbolica
Data una circonferenza T (figura sotto), si chiama:
- punto di Klein un qualunque punto P, interno a T;
- retta di Klein una qualunque corda AB di T;
- piano di Klein l’insieme dei punti non esterni a T;
Inoltre:
- due rette di Klein si dicono incidenti se hanno in comune un punto di Klein.
Per esempio nella figura sotto le rette di Klein AB e CD sono incidenti nel punto P di Klein.
- due rette di Klein si dicono parallele se hanno in comune un punto di T.
Per esempio le rette AB e AC sono parallele, in quanto si incontrano nel punto A della circonferenza T, come si vede nella seguente figura.
Si può dimostrare che questi enti (punti, rette, piano di Klein) verificano gli assiomi della geometria euclidea, escluso l’assioma delle parallele; vale invece la seguente proprietà:
In un piano esistono almeno due rette, passanti per un punto e parallele ad una data retta.
Per esempio (figura sotto) le rette distinte AC e BD passano per P e sono entrambe parallele alla retta AB.
Il modello di Klein prova che l’assioma delle parallele è indipendente dai precedenti assiomi della geometria euclidea.
Un modello di geometria ellittica
Data una superficie sferica S, si chiama:
- punto di Riemann ogni coppia di punti estremi di un diametro di S.
Per esempio le coppie (A,B) e (C,D) sono punti di Riemann;
- retta di Riemann ogni circonferenza massima di S.
Per esempio T1 e T2 sono rette di Riemann.
- piano di Riemann la superficie sferica S.
Anche in questo caso, si può dimostrare che questi enti verificano gli assiomi della geometria, escluso l’assioma delle parallele; vale invece il seguente assioma:
In un piano, qualunque retta passante per un punto dato incontra una retta data.
Infatti, due qualsiasi circonferenze massime di S si incontrano sempre in due punti diametralmente opposti.
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