lunedì 30 gennaio 2012

Teorema di Lagrange o del valore medio

Se f(x) è una funzione continua nell’intervallo chiuso [a, b] e derivabile in (a, b), allora esiste almeno un punto c interno ad [a, b] tale che risulti:

Dimostrazione.

A tale scopo, scriviamo la funzione ausiliaria:

g(x) = f(x) + kx

dove k è una costante che determineremo in modo che la funzione g(x) verifichi la terza condizione del teorema di Rolle, cioè:

g(a) = g(b)

ossia:

f(a) + ka = f(b) + kb

da cui:

                (1) 

Ora la g(x), ove si tengano presenti le ipotesi fatte sulla f(x), è continua nell’intervallo chiuso [a, b] e derivabile in (a, b), perché somma di funzioni continue in [a, b] e derivabili in (a, b).

Possiamo perciò applicare alla funzione g(x), nell’intervallo [a, b], il teorema di Rolle. Esiste quindi un punto c interno ad [a, b] per il quale è:

g’(c) = f’(c) + k = 0

cioè:

f’(c) = -k

da cui, tenendo presente il valore di k dato dalla relazione (1), si ottiene:

 

Geometricamente il teorema di Lagrange si interpreta dicendo:

Se un arco di curva continua è dotato di tangente in ogni suo punto, esclusi al più gli estremi, esiste almeno un punto interno all’arco nel quale la tangente è parallela alla corda che congiunge i punti estremi dell’arco.

Nell’immagine sotto possiamo vedere quanto enunciato:

Infatti la tangente nel punto c (in viola) è parallela alla corda ab (in verde) che congiunge gli estremi dell’arco di curva (in rosso).

La dimostrazione del teorema fu data da Lagrange nel 1801, che lo considerava tuttavia un corollario della formula di Taylor. La deduzione del teorema di Rolle sembra sia stata fatta per primo da Bonnet (intorno al 1850).


domenica 29 gennaio 2012

La rifrazione

La rifrazione. La direzione di propagazione di un’onda in un mezzo tridimensionale può variare essenzialmente in tre modi diversi: per riflessione, per rifrazione e per diffrazione. Quando un’onda raggiunge la superficie di separazione tra due mezzi, in generale una parte viene riflessa a ritorna nel primo mezzo, l’altra si trasmette nel secondo, e si può dimostrare che, se l’angolo di incidenza è diverso la 90°, la velocità di propagazione dell’onda riflessa non varia ma la componente normale alla superficie di separazione di tale velocità inverte la sua direzione.

La direzione di propagazione dell’onda trasmessa inoltre generalmente è diversa da quella dell’onda incidente.

In questo filmato possiamo vedere in maniera molto chiara, con esempi pratici, quanto detto finora. In particolare si mostra il comportamento della luce quando passa dall’aria al vetro e dall’aria all’acqua (e viceversa). Il classico esempio che viene quasi sempre citato è quello del bastoncino immerso nell’acqua che appare “deviato”. Viene mostrato anche il fenomeno della riflessione totale interna che permette alla luce di viaggiare attraverso un percorso incurvato e che è il principio su cui si basano le fibre ottiche, che sono molto importanti per le telecomunicazioni. Vedrete anche come un raggio laser può percorrere un flusso d’acqua, un fenomeno tanto spettacolare quanto curioso.

Il filmato sulla rifrazione che vi presento è stato realizzato a cura di Rai Edu1. Buona visione a tutti.


Immagini telescopio spaziale: le 100 più belle

Da più di 20 anni il telescopio spaziale Hubble ci manda immagini del cosmo davvero ineguagliabili. Nonostante non sia uno strumento di enormi dimensioni, Hubble riesce ad ottenere straordinari risultati perché può osservare gli oggetti astronomici dallo spazio, senza il disturbo dell’atmosfera terrestre. Infatti la nostra atmosfera, anche se è un “rifugio” straordinario per le creature viventi e che ci separa nettamente dall’ambiente sterile dello spazio, è però un notevole ostacolo per le osservazioni astronomiche. Prima di mostrarvi le 100 immagini astronomiche più belle del telescopio spaziale Hubble, vediamo brevemente perché l’atmosfera ci limita tanto nell’astronomia.

telescopio spaziale Hubble

Il disturbo è dovuto essenzialmente a 3 motivi.

1) L’atmosfera assorbe una parte delle radiazioni provenienti dallo spazio. Anche nelle lunghezze d’onda visibili c’è un certo assorbimento. Questo fa sì che gli oggetti celesti ci appaiono meno luminosi rispetto a come ci apparirebbero dallo spazio. Specialmente nell’ultravioletto. Nello spazio invece nessun tipo di radiazione viene assorbita.

2) La turbolenza atmosferica. Per gli astronomi il moto turbolento degli strati di aria è una vera dannazione. Le immagini risultano confuse e perdono la maggior parte dei dettagli più interessanti. Anche se negli ultimi anni, grazie ai computer, è possibile correggere con dei complicati algoritmi le immagini disturbate dalla turbolenza, non è possibile eliminare mai del tutto questo disturbo. Anche in questo caso, nello spazio, non essendoci atmosfera, non c’è nemmeno la turbolenza. Le immagini delle stelle risultano ferme e puntiformi e il loro diametro è limitato solo dalle leggi dell’ottica. Tutto ciò si traduce nel fatto che qualsiasi oggetto astronomico venga ripreso, avrà una quantità di dettagli che nessun telescopio da terra (per quanto potente) potrà percepire.

(L’animazione mostra l’immagine di una stella al telescopio “massacrata” dalla turbolenza atmosferica)

 

3) L’inquinamento luminoso. Ecco un altro motivo di grande disturbo per l’astronomia osservativa. Gli osservatori si costruiscono in alta montagna, nei deserti e comunque sempre molto lontano dalle città, per sfuggire alla luce prodotta dalla civiltà. Ormai l’inquinamento luminoso è un problema così grave che dalle grandi città si riescono a vedere, a malapena, solo la Luna, alcuni pianeti e le stelle più luminose. L’illuminazione pubblica delle città è cresciuta in maniera spesso “selvaggia” e con lampade che disperdono la luce verso l’alto. L’inquinamento luminoso non è dovuto in realtà alla presenza dell’illuminazione, ma sempre all’atmosfera. I gas e le polveri atmosferiche infatti riflettono e diffondono la luce e rendono il cielo “lattiginoso”. Gli oggetti astronomici più deboli si perdono in questa luminosità di fondo. Nello spazio questo problema è del tutto assente. Il fondo-cielo è perfettamente buio e spiccano anche gli oggetti più deboli.

(Un “oceano di luci cittadine” nella pianura veneta. L’inquinamento luminoso ha costretto gli astronomi a costruire gli osservatori sempre più lontani dalle città, in luoghi di montagna o desertici).

 

Non dobbiamo dimenticare un altro vantaggio dell’osservazione nello spazio: non ci sono mai serate nuvolose! Il tempo di osservazione è massimo.

E adesso, dopo avervi spiegato per quali motivi il telescopio spaziale Hubble è così potente, vi lascio guardare questo filmato che mostra le 100 immagini più belle che ha ripreso in più di 20 anni di onorato servizio. Sono immagini davvero straordinarie che hanno segnato la storia della moderna astronomia.

Buona visione a tutti.


giovedì 26 gennaio 2012

La teoria più bella

Quale potrebbe essere la teoria scientifica più bella? Naturalmente il concetto di “bellezza” di solito è associato all’arte o al massimo alla natura, ma sono moltissimi gli scienziati che estendono questo concetto anche alla scienza. Personalmente molte teorie scientifiche “ereditano” la loro bellezza concettuale dagli stessi fenomeni che descrivono. Ad esempio, secondo me, la teoria della Relatività Generale eredita la sua bellezza dal fatto che descrive la forza di gravità nel cosmo e quindi riflette la bellezza e la simmetria stessa dell’Universo.

Archimede

Archimede si entusiasmò quando riuscì a descrivere il suo famoso “Principio di Archimede” (il famoso “eureka”: ho trovato!).

Quale sia la teoria più elegante è convincente è la domanda rivolta a centinaia di scienziati dal sito di scienza e filosofia Edge. Molti hanno menzionato idee e principi consolidati, ma anche quelli ancora da dimostrare. Se ne desume che spesso i ricercatori sono molto influenzati da teorie “belle” ed “eleganti”. Tra le idee più affascinanti, il cosmologo Martin Rees dell’Università di Cambridge, menziona il soggetto che il cosmo è solo una piccola parte del frutto del Big Bang e che diverse forme di Fisica sarebbero valide in differenti universi.

La teoria della selezione naturale di Charles Darwin è tra quelle più seduttive tra i 200 studiosi intervistati. L’evoluzionista Richard Dawkins ha affermato che poche altre teorie hanno spiegato così tanti fatti.

Ovviamente anche la Teoria della Relatività di Einstein sta nell’olimpo delle idee favorite. Essa infatti spiega i buchi neri, la gravità, la curvatura dello spazio-tempo. Inoltre offre anche la possibilità di descrivere l’origine (Big Bang) e l’espansione dell’Universo.

Una delle idee scientifiche più seducenti risulta essere quella del riflesso condizionato, che impressionò il fisiologo russo Ivan Pavlov. Uno stimolo acustico, ad esempio, può suscitare reazioni automatiche in molti esseri viventi. Un effetto pavloviano non secondario può essere può essere anche l’effetto placebo. Un analgesico può fare effetto subito dopo l’assunzione, prima che i suoi principi attivi diventino realmente operanti.

In questo filmato, tratto da Tg Leonardo, possiamo vedere un servizio che riguarda la teoria scientifica più bella secondo un sondaggio fatto tra centinaia di scienziati.

Buona visione a tutti.


Eutrofizzazione

L’eutrofizzazione consiste in uno sviluppo eccessivo della vegetazione (in particolare alghe) e del fitoplancton in ambienti acquatici. L’eutrofizzazione è dovuta all’aumento nell’acqua di composti organici (soprattutto i fosfati), che fertilizzano le piante e le fanno crescere a dismisura. Le sostanze responsabili dell’eutrofizzazione derivano dall’immissione degli scarichi agricoli, industriali e delle fogne nei fiumi, nei laghi e nei mari chiusi.

L’eutrofizzazione sconvolge gli equilibri dell’ecosistema e può avere conseguenze molto gravi. Infatti, quando le piante acquatiche si sviluppano eccessivamente, cambia la distribuzione dell’ossigeno, meno presente nelle acque più profonde. Inoltre, aumentano i batteri e, con il passare del tempo, la vegetazione troppo sviluppata può imputridirsi e liberare sostanze tossiche. Infine le alghe possono depositarsi sulle branchie dei pesci, ostacolandone la respirazione.

eutrofizzazione

Nell’immagine possiamo vedere un esempio di come appare l’eutrofizzazione di alghe in un bacino idrico con scarso ricambio delle acque. Il problema dell’eutrofizzazione assume periodicamente consistenza gravissima: la sovrappopolazione di alghe, come detto prima, impedisce ai pesci di respirare.

Il termine "eutrofizzazione" viene dal greco eutrophia (eu = buona, trophòs = nutrimento) e in origine indicava, in accordo con la sua etimologia, una condizione di ricchezza in sostanze nutritive (nitrati e fosfati). Ovviamente adesso indica una condizione “patologica” di sovrabbondanza di sostanze nutritive nelle acque.

Tra i maggiori responsabili dell’eutrofizzazione vi sono i detergenti che contengono fosfati; tali composti vengono aggiunti per diminuire la durezza delle acque urbane che, per la presenza di ioni Ca++, rendono il detersivo meno efficiente. In Italia, per legge, la percentuale di composti di fosforo contenuti nei detersivi non può superare il 6,5%.

In realtà bisogna mettere in evidenza che l’eutrofizzazione è un fenomeno abbastanza recente, compare in forma molto intensa nell’Adriatico Nord - occidentale nella seconda metà degli anni sessanta e si manifesta in numerosi altri mari nel mondo (ad esempio: Chesapeake Bay - USA, Mare del Nord e Mar Baltico, Baia di Tokio, ed altre aree). La condizione che accomuna questi casi è legata da un lato alla forte antropizzazione del territorio conseguente ad un rilevante sviluppo economico e sociale, dall’altro al fatto che i bacini idrografici che attraversano queste aree scaricano le loro acque in mari semichiusi. In sostanza è un fenomeno totalmente attribuibile alla pesante presenza dell’uomo sul territorio.


Cosa sono le acque territoriali?

Sicuramente avrete già sentito parlare di acque territoriali, probabilmente senza sapere esattamente cosa sono. Ecco una breve spiegazione. Il diritto internazionale definisce acque territoriali tutte le acque che si trovano sotto la sovranità di uno stato: laghi, fiumi, canali, mari. In genere però con l’espressione acque territoriali si intende il mare territoriale, cioè il tratto di mare adiacente alle coste, sul quale lo stato esercita il diritto esclusivo di pesca, nel quale controlla il traffico marittimo e che difende militarmente.

(Schema delle acque territoriali, da Wikipedia).

La larghezza di questi tratti varia a seconda degli stati: per l’Italia è fissata in 12 miglia marine (circa 20 chilometri) dalla costa. Oltre le acque territoriali uno stato può disporre di una zona economica, estesa al massimo fino a 200 miglia dalla linea costiera, dove può godere solo del diritto di pesca e di sfruttamento delle risorse dei fondali, ma deve lasciare libera la navigazione.

Oltre la zona economica si estendono le acque internazionali.


mercoledì 25 gennaio 2012

Prova auto elettrica: Peugeot iOn

In questo interessante filmato possiamo vedere la prova su strada di un’auto elettrica, la Peugeot iOn. Questa prova è davvero molto interessante perché mostra pregi e difetti (o, per meglio dire, luci e ombre) delle auto elettriche attualmente in commercio. Tali pregi e difetti non appartengono solo alla Peugeot iOn, ma si sono potuti rilevare anche in altre auto elettriche, come possiamo leggere qui.

Prima lasciarvi alla visione del filmato, vi anticipo subito i difetti più “fastidiosi” della Peugeot iOn:

1) Difficoltà di ricarica con la batteria. I normali impianti elettrici delle case non sono in grado di ricaricare le batterie di questa vettura.

2) Autonomia minore di quella dichiarata dalla casa costruttrice. La Peugeot dichiara ben 150 km di autonomia a piena carica della batteria, nel filmato potrete vedere qual è la vera autonomia…

3) Prezzo alto. Per la Peugeot iOn siamo a circa 36000 euro.

auto elettrica Peugeot iOn

 

I pregi migliori invece sono:

1) Silenziosità quasi perfetta. I motori elettrici non fanno lo stesso rumore dei motori a benzina e diesel. Il silenzio non è un comfort da poco!

2) Ottima ripresa e notevole guidabilità.

3) Lo scrivo per ultimo, ma in realtà è (o dovrebbe essere) il pregio più importante: le emissioni zero! Il vero vantaggio di circolare con auto elettriche è proprio questo, il fatto che non emettono gas dannosi per l’ambiente. Se poi le auto elettriche fossero ricaricate da corrente elettrica prodotta da pannelli solari, sarebbe ancora meglio.

Come vedrete, questa auto elettrica (ma anche altri modelli di altre marche condividono la stessa sorte) appare come un prodotto “immaturo” che non è in grado di soddisfare pienamente le esigenze di un utente “medio”. Sembra che nel campo delle auto elettriche ci sia ancora “molta strada da percorrere”. Se non si farà qualcosa per aumentare l’autonomia e la compatibilità per la ricarica delle batterie (e non si abbassa drasticamente il prezzo), difficilmente un prodotto del genere potrà avere la giusta penetrazione nel grande mercato.

Ma adesso, per tutti i dettagli della prova su strada dell’auto elettrica Peugeot iOn, vi lascio al filmato. Buona visione a tutti.


Space X Starship: il nuovo tentativo di lancio del 18 novembre 2023.

Vediamo un frammento della diretta del lancio dello Starship del 18 noembre 2023. Il Booster 9, il primo stadio del razzo, esplode poco dopo...