Tutto cominciò con una mela caduta in testa a Isaac Newton, almeno così dice la leggenda (anche se, a quanto pare, non è proprio una leggenda). Fu Newton il primo a intuire che la forza che fa cadere gli oggetti sulla Terra è la stessa forza che tiene legata la Luna alla Terra e i pianeti attorno al Sole. In realtà è una grande intuizione, perché non sembra che ci sia una correlazione così forte tra i due fenomeni. Potremmo pensare: “ma allora perché la Luna non cade sulla Terra, visto che c’è questa attrazione gravitazionale?”. La verità è che, in qualche modo, la Luna cade continuamente sulla Terra, ma questo moto di caduta è in ogni istante compensato dal moto stesso della Luna. C’è quindi un equilibrio tra la “forza centrifuga” che tende ad allontanare la Luna dalla Terra e la loro mutua attrazione gravitazionale.
Quindi l’intuizione di Newton fu quella di pensare che se la Luna si muove di moto approssimativamente circolare attorno alla Terra, quindi presenta una forza centrifuga che tende a farla sfuggire, come mai allora resta sempre alla stessa distanza e non sfugge via? Newton pensò che la forza che equilibra la forza centrifuga doveva essere esattamente la stessa forza di gravità che sentiamo sulla Terra, indebolita ovviamente dalla distanza superiore. Newton cercò di calcolare questa forza di attrazione e si accorse che, se questa fosse stata proporzionale a 1/r2 (dove r è la distanza tra la Terra e la Luna), si sarebbe potuto prevedere addirittura il tempo orbitale della Luna!
Ma Newton non si fermò a pensare che la forza di gravità che sentiamo sotto i nostri piedi si estendesse nello spazio solo fino alla Luna, ma che arrivasse persino a permeare l’intero Universo. Ecco perché il nome di gravitazione universale. In questo modo Newton poteva spiegare anche il moto dei pianeti attorno al Sole; quindi era la gravità del Sole che teneva i pianeti nelle loro orbite.
Ma qual è la grandezza fisica che “genera” questa forza di gravità? Newton propose che fosse la massa. In particolare era evidente che la forza di gravità tra due corpi con un certa massa fosse proporzionale al prodotto delle loro masse.
Questo lo possiamo dimostrare facilmente in questo modo:
Supponiamo di considerare il sistema Terra-Sole. Indichiamo con M la massa del Sole e con m quella della Terra. Sopponiamo inoltre che l’orbita della Terra sia circolare (approssimazione che non si discosta molto dalla realtà, dato che l’orbita terrestre è un’ellisse con eccentricità pari a 0,0167). Così possiamo ipotizzare che il moto della Terra sia circolare uniforme.
La forza che lega la Terra al Sole (quindi è una forza centripeta) è data dalla seconda legge di Newton:
dove m, come detto prima, è la massa della Terra.
Sappiamo anche che, in un moto circolare uniforme la velocità è data da:
dove:
e si chiama “frequenza angolare”.
Così possiamo scrivere che l’accelerazione centripeta è:
Sostituendo nell’espressione della seconda legge di Newton, possiamo scrivere:
A questo punto possiamo chiamare in causa la terza legge di Keplero per cercare di eliminare la dipendenza dal quadrato del tempo di quest’ultima formula.
La terza legge di Keplero afferma, infatti, che i cubi dei raggi delle orbite dei pianeti sono direttamente proporzionali ai quadrati dei loro periodi orbitali. Questa proporzionalità diretta la posso esprimere in questo modo:
Sapendo questo, sostituisco nell’espressione della forza, ottenendo:
Questa è la forza che il Sole esercita sulla Terra. Ma, simmetricamente, dobbiamo considerare anche la forza con cui la Terra attrae il Sole, che sarà data da:
dove, la massa M stavolta è quella del Sole e il segno meno è dovuto al fatto che tale forza, ovviamente, è in direzione opposta rispetto a quella vista prima.
Per il terzo principio della dinamica (legge di azione e reazione) posso quindi scrivere:
e quindi:
da cui ottengo:
A questo punto posso riscrivere le espressioni per F ed F’ in un altro modo. Se le moltiplico e divido entrambe per una stessa quantità (m/m o M/M) le posso “modificare” senza in realtà cambiare nulla.
Dato che, come avevamo visto in precedenza, risulta che:
possiamo eguagliare anche le quantità:
Sostituendo G in una qualsiasi delle espressioni di F o F’, otteniamo infine:
G è una costante che viene chiamata costante di gravitazione universale. Si tratta di un valore costante che può essere misurato e che di solito viene approssimato con il valore:
e che non è altro che la forza con cui si attraggono due masse di 1 Kg poste a 1 metro di distanza l’una dall’altra. Si noti che è un valore molto piccolo ed è per questo motivo che non sentiamo la forza di attrazione gravitazionale degli oggetti che ci circondano quotidianamente. Non perché non c’è, ma perché è troppo piccola per essere percepita con i nostri sensi. Invece percepiamo la forza di gravità della Terra perché ha una massa molto grande.
La legge di gravitazione universale può essere enunciata nel seguente modo:
“due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza”
Bisogna notare l’espressione “punti materiali”. Infatti la forza di gravità viene di solito definita tra corpi considerati puntiformi. Questo perché se consideriamo corpi celesti come il Sole o la Terra, la forza di gravità che esercitano è la stessa che si avrebbe se tutta la massa dei loro corpi sferici fosse concentrata nel loro centro.
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