giovedì 29 novembre 2012

Perché un numero moltiplicato per zero fa zero?

Ad alcuni potrà sembrare una domanda banale, ma non potete immaginare quante sono le persone che me lo chiedono e che prima di trovare una risposta degna di questo nome si scervellano senza successo. Evidentemente il problema non viene percepito come così banale.

In realtà il “mistero” ha una risposta semplicissima. Per capire perché un numero qualsiasi (diverso da zero) moltiplicato per zero da come risultato zero, possiamo ricorrere ad un esempio. Come prima cosa dobbiamo pensare che i numeri sono degli “insiemi” di oggetti. Ad esempio il numero 5 lo possiamo immaginare come un insieme formato da 5 caramelle, o da 5 biglie, o da 5 oggetti qualsiasi. Se dobbiamo moltiplicare il numero 5 per il numero 3, significa quindi che dobbiamo prendere 3 insiemi formati da 5 caramelle. Se contiamo tutte le caramelle che adesso abbiamo, troviamo il numero 15. Occorre notare che anche se prendiamo 5 insiemi da 3 elementi, otteniamo 15 elementi. infatti 3x5=15, ma anche 5x3=15, come ci hanno insegnato a scuola. Si tratta della proprietà commutativa della moltiplicazione.

Se abbiamo un insieme di 5 caramelle e lo prendiamo zero volte, quante caramelle abbiamo? Ovviamente abbiamo zero caramelle. Ecco, è già siamo arrivati alla risposta, in maniera semplice e senza esserci complicati la vita con complesse regole matematiche.

Spero che la mia risposta sia servita a togliere ogni dubbio a qualcuno che si è posto questo problema.

Se invece volete capire perché non si può dividere per zero, vi consiglio di leggere questo.

Se volete conoscere la storia del numero zero, leggete questo mio post.


24 commenti:

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  2. No, aspetta un attimo... Allora, io ho 5 caramelle (numero oggettivo di partenza) in un sacchetto aperto, e diciamo che ce le ho qui sul mio tavolo; ci sono e le vedo. Ok, se questo sacchetto di caramelle lo prendo 0 volte, cioè non faccio niente, non lo tocco, lo lascio li com'è (e non lo aggiungo ad altri insiemi uguali) ebbene secondo la matematica a questo punto le caramelle dovrebbero scomparire da sotto i miei occhi...??

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    1. hai un sacchetto in mano con 5 caramelle, lo appoggi sul tavolo. ora hai 0 sacchetti in mano con 5 caramelle.
      5X0=0

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    2. In realtà il fatto che qualsiasi numero moltiplicato per zero dia zero è dimostrabile a partire direttamente dagli assiomi dei numeri naturali, anzi, dimostrare questo fatto (cioè che per qualsiasi a si ha a*0 = 0) è un simpatico esercizio che spesso si assegna agli studenti che cominciano il loro esame di analisi 1.

      Prima partiamo dalla definizione di 0 che ci viene addirittura dalla costruzione dei numeri naturali. Nel costruire i numeri naturali con gli assiomi di Peano abbiamo assunto che nell'insieme dei naturali ci sia un elemento, che chiameremo elemento nullo e denoteremo con 0 che ha le seguente proprietà: se sommato a qualsiasi altro numero da come risultato il numero di partenza, cioè 2+0=2 oppure 5+0=5, o più in generale, per ogni a si ha a+0=a.

      Detto ciò possiamo partire con la dimostrazione che effettivamente a*0=0 per ogni a.

      Partiamo da una cosa banalmente vera:

      a*0=a*0

      Su questo credo saremo tutti d'accordo, ogni cosa è uguale a se stessa. Ora nell'a*0 al primo membro sostituiamo allo 0 il numero 0+0. Per la proprietà di elemento nullo dello 0 avremo infatti che 0 e 0+0 sono sicuramente lo stesso numero, quindi moltiplicare a per 0 o per 0+0 darà sicuramente lo stesso risultato. Quindi ora abbiamo:

      a*(0+0) = a*0

      Moltiplichiamo dentro la parentesi al primo membro:

      a*0+a*0 = a*0

      Ora sottraiamo da entrambi i lati il numero a*0

      a*0 + a*0 - a*0= a*0-a*0

      E semplificando (ogni numero meno se stesso fa 0) si ottiene:

      a*0 = 0

      E siamo arrivati!

      Quindi vedete il fatto che ogni numero per 0 fa 0 non è un risultato preso per buono, è la conseguenza di una proprietà fondamentale del numero 0, cioè quella di essere elemento neutro per la somma (significa che, come abbiamo già detto a+0=0 per ogni a).

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    3. ci sono tantissime caramelle sul tavolo, e ti viene detto "puoi andare a prenderne quante volte vuoi, ma ogni volta che vai a prenderle ne devi prendere esattamente cinque, non una di più, non una di meno". Per protestare contro questa iniqua restrizione tu scioperi e vai zero volte a prendere le caramelle. Quante caramelle hai in mano?

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  3. No, se un insieme di 5 caramelle lo prendi zero volte, in mano te ne restano zero.

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  4. Sono 2 visioni differenti della cosa. La matematica la spiega così, ma il commento di dakkon è più che sensato e probabilmente è una questione che la matematica non sa spiegare. Con questa veduta 5x1 dovrebbe fare 10.

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    1. Mi hanno inculato le caramelle dal tavolo 🤔

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    2. In realtà il fatto che qualsiasi numero moltiplicato per zero dia zero è dimostrabile a partire direttamente dagli assiomi dei numeri naturali, anzi, dimostrare questo fatto (cioè che per qualsiasi a si ha a*0 = 0) è un simpatico esercizio che spesso si assegna agli studenti che cominciano il loro esame di analisi 1.

      Prima partiamo dalla definizione di 0 che ci viene addirittura dalla costruzione dei numeri naturali. Nel costruire i numeri naturali con gli assiomi di Peano abbiamo assunto che nell'insieme dei naturali ci sia un elemento, che chiameremo elemento nullo e denoteremo con 0 che ha le seguente proprietà: se sommato a qualsiasi altro numero da come risultato il numero di partenza, cioè 2+0=2 oppure 5+0=5, o più in generale, per ogni a si ha a+0=a.

      Detto ciò possiamo partire con la dimostrazione che effettivamente a*0=0 per ogni a.

      Partiamo da una cosa banalmente vera:

      a*0=a*0

      Su questo credo saremo tutti d'accordo, ogni cosa è uguale a se stessa. Ora nell'a*0 al primo membro sostituiamo allo 0 il numero 0+0. Per la proprietà di elemento nullo dello 0 avremo infatti che 0 e 0+0 sono sicuramente lo stesso numero, quindi moltiplicare a per 0 o per 0+0 darà sicuramente lo stesso risultato. Quindi ora abbiamo:

      a*(0+0) = a*0

      Moltiplichiamo dentro la parentesi al primo membro:

      a*0+a*0 = a*0

      Ora sottraiamo da entrambi i lati il numero a*0

      a*0 + a*0 - a*0= a*0-a*0

      E semplificando (ogni numero meno se stesso fa 0) si ottiene:

      a*0 = 0

      E siamo arrivati!

      Quindi vedete il fatto che ogni numero per 0 fa 0 non è un risultato preso per buono, è la conseguenza di una proprietà fondamentale del numero 0, cioè quella di essere elemento neutro per la somma (significa che, come abbiamo già detto a+0=0 per ogni a).

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  5. a me hanno spiegato invece che è una regola presa per buona a causa dei numeri binari, se moltiplicando il numero per zero volte resto col numero iniziale, i computer a livello mondiale andrebbero in crisi quindi si prende per valido il risultato di zero. mi dicono che esistono vari trattati in merito

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    1. In realtà il fatto che qualsiasi numero moltiplicato per zero dia zero è dimostrabile a partire direttamente dagli assiomi dei numeri naturali, anzi, dimostrare questo fatto (cioè che per qualsiasi a si ha a*0 = 0) è un simpatico esercizio che spesso si assegna agli studenti che cominciano il loro esame di analisi 1.

      Prima partiamo dalla definizione di 0 che ci viene addirittura dalla costruzione dei numeri naturali. Nel costruire i numeri naturali con gli assiomi di Peano abbiamo assunto che nell'insieme dei naturali ci sia un elemento, che chiameremo elemento nullo e denoteremo con 0 che ha le seguente proprietà: se sommato a qualsiasi altro numero da come risultato il numero di partenza, cioè 2+0=2 oppure 5+0=5, o più in generale, per ogni a si ha a+0=a.

      Detto ciò possiamo partire con la dimostrazione che effettivamente a*0=0 per ogni a.

      Partiamo da una cosa banalmente vera:

      a*0=a*0

      Su questo credo saremo tutti d'accordo, ogni cosa è uguale a se stessa. Ora nell'a*0 al primo membro sostituiamo allo 0 il numero 0+0. Per la proprietà di elemento nullo dello 0 avremo infatti che 0 e 0+0 sono sicuramente lo stesso numero, quindi moltiplicare a per 0 o per 0+0 darà sicuramente lo stesso risultato. Quindi ora abbiamo:

      a*(0+0) = a*0

      Moltiplichiamo dentro la parentesi al primo membro:

      a*0+a*0 = a*0

      Ora sottraiamo da entrambi i lati il numero a*0

      a*0 + a*0 - a*0= a*0-a*0

      E semplificando (ogni numero meno se stesso fa 0) si ottiene:

      a*0 = 0

      E siamo arrivati!

      Quindi vedete il fatto che ogni numero per 0 fa 0 non è un risultato preso per buono, è la conseguenza di una proprietà fondamentale del numero 0, cioè quella di essere elemento neutro per la somma (significa che, come abbiamo già detto a+0=0 per ogni a).

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  6. IO NON sono un Professore, pero' ho una MIA IDEA : moltiplicando 0 per qualsiasi numero ho 0 come risultato,es( 0x1=0) (0 x2= 0) e cosi' via giusto? ma moltiplicando un numero diverso dallo zero perche' come risultato non ho il numero iniziale? ES (3 x 0 = 3) ? Cioe' Avere un qualcosa e MOLTIPLICARLO ZERO VOLTE MI RESTA CIO' CHE HO!!! Nessuno mi fara' cambiare IDEA, e VEDO che MOLTI la pensano come ME, Forse sbagliando, NON SO',. Grazie per L'ATTENZIONE PROFESSORI!!!!!

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    1. Concordo.ed e'per quello che ho sempre odiato la matematica. La fanno andare come gli pare.

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    2. In realtà il fatto che qualsiasi numero moltiplicato per zero dia zero è dimostrabile a partire direttamente dagli assiomi dei numeri naturali, anzi, dimostrare questo fatto (cioè che per qualsiasi a si ha a*0 = 0) è un simpatico esercizio che spesso si assegna agli studenti che cominciano il loro esame di analisi 1.

      Prima partiamo dalla definizione di 0 che ci viene addirittura dalla costruzione dei numeri naturali. Nel costruire i numeri naturali con gli assiomi di Peano abbiamo assunto che nell'insieme dei naturali ci sia un elemento, che chiameremo elemento nullo e denoteremo con 0 che ha le seguente proprietà: se sommato a qualsiasi altro numero da come risultato il numero di partenza, cioè 2+0=2 oppure 5+0=5, o più in generale, per ogni a si ha a+0=a.

      Detto ciò possiamo partire con la dimostrazione che effettivamente a*0=0 per ogni a.

      Partiamo da una cosa banalmente vera:

      a*0=a*0

      Su questo credo saremo tutti d'accordo, ogni cosa è uguale a se stessa. Ora nell'a*0 al primo membro sostituiamo allo 0 il numero 0+0. Per la proprietà di elemento nullo dello 0 avremo infatti che 0 e 0+0 sono sicuramente lo stesso numero, quindi moltiplicare a per 0 o per 0+0 darà sicuramente lo stesso risultato. Quindi ora abbiamo:

      a*(0+0) = a*0

      Moltiplichiamo dentro la parentesi al primo membro:

      a*0+a*0 = a*0

      Ora sottraiamo da entrambi i lati il numero a*0

      a*0 + a*0 - a*0= a*0-a*0

      E semplificando (ogni numero meno se stesso fa 0) si ottiene:

      a*0 = 0

      E siamo arrivati!

      Quindi vedete il fatto che ogni numero per 0 fa 0 non è un risultato preso per buono, è la conseguenza di una proprietà fondamentale del numero 0, cioè quella di essere elemento neutro per la somma (significa che, come abbiamo già detto a+0=0 per ogni a).

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    3. Uno spesso odia quel che non capisce. Se uno non sa una cosa è un ignorante, e non c'è da vergognarsi: tutti ignoriamo tante cose. Ma se dà la colpa ad altri perché non capisce, o dice che nessuno gli farà cambiare idea, da ignorante diventa arrogante. Solo gli stupidi non cambiano mai idea. E sì, credo che "unknown" sia molto stupido, e anche arrogante.

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  7. 3x0 oppure 0x3 deve dare lo stesso risultato perché anche, ad esempio, 3x5 oppure 5x3 devono dare lo stesso risultato. Si chiama "Proprietà commutativa" della moltiplicazione.

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  8. La proprietà commutativa dovrebbe valere solo per numeri DIVERSI da ZERO, perchè sia 3x0 che 0x3 non ha nessun senso logico, esattamente come fare 0/3 o 3/0, non si capisce perchè solo in quest'ultimo caso è considerata un'operazione matematica non consentita.

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    1. In realta si puo' o non si puo' moltiplicare o dividere un n. Per 0?

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    2. Anche qui l'assiomatica risponde chiaramente. Un numero può essere tranquillamente moltiplicato per zero, e il risultato è appunto zero. Non ha senso dire che non si può moltiplicare per zero.
      Un numero può essere anche diviso per zero, ma ottenere il risultato è più complesso e richiede una certa conoscenza avanzata. La risposta è "infinito", detta in termini molto, molto semplici.

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  9. Spiegazione semplice ma chiara, grazie

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  10. Xhe cmq se io ho 5 caramelle sul tavolo, e le prendo zero volte, vuol dire che in mano non ho un bel niente, x qsto e sempre zero ok.... Perciò è zero... Tu puoi avere anche 1000 caramelle, che non hai tu, sono sul tavolo, nel sacchetto, nel cestino, e le prendi, o le moltiplichi zero volte, quindi rimangono li, alla fine rimane che tu in mano non hai nulla!!! Qsto è il principio lo so un po' strano!!

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  11. Ragazzi facciamo così: vi regalo 1350 euro per 12 mesi. (magari ce li avessi!) Quanti euro avrete alla fine dell'anno? Dovete fare 1350*12, giusto? Ecco, provate a fare la moltiplicazione a mano. Se vi risulta complicata provate con 130*12, va bene?
    Provate a fare i conti con 1*0 = 0 e 2*0 = 0 e poi con 1*0 = 1 e 2*0 = 2. vedrete che nel secondo caso il risultato è sbagliato. Se non ci credete fate una fila con 130 fagioli, poi fatene altre 11 e contate il totale.

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