Ecco la seconda lezione dedicata alle equazioni differenziali (la prima a questo indirizzo). Stavolta si spiegano le equazioni differenziali di ordine n a coefficienti costanti. La lezione è molto chiara anche perché il docente fa molti esempi di risoluzione di equazioni.
Buona visione a tutti.
L’energia si trova dappertutto, ma solo una piccola parte è effettivamente disponibile per essere recuperata, trasformata, trasportata e utilizzata con le tecnologie oggi disponibili. In fondo, la materia stessa è una forma estremamente condensata di energia, come ha dimostrato Albert Einstein con la celebre equazione E = mc2, secondo cui una certa massa m di materia può liberare un’energia E pari al prodotto della massa medesima per la velocità della luce c al quadrato. Tuttavia, solo in condizioni particolarissime e con particolari tecnologie riusciamo a sfruttare questa enorme potenzialità.
Le fonti primarie
Quella piccola parte di energia effettivamente sfruttabile dall’uomo con le tecnologie attuali è contenuta nelle cosiddette fonti primarie. Una fonte di energia è definita primaria quando è presente in natura e quindi non deriva dalla trasformazione da parte dell’uomo di nessuna altra forma di energia. Rientrano in questa categoria i combustibili direttamente utilizzabili (petrolio grezzo, gas naturale, carbone), l’energia nucleare, l’energia del sole, del vento, dell’acqua e delle biomasse. D’altra parte, la stessa parola “fonte”, benché usatissima, non è appropriata dal punto di vista fisico: non c’è nulla che generi energia dal nulla! Essa va intesa semplicemente in riferimento all’uomo (e alle sue tecnologie) e quindi alle nostre capacità di conversione. Cento anni fa l’uranio non sarebbe stato considerato una fonte di energia e duecento anni fa nemmeno il gas naturale.
Tra le fonti primarie, quelle più utilizzate sono i combustibili fossili. Quelli solidi, le cui caratteristiche sono riassunte nella tabella sotto, derivano dalla carbonizzazione di biomasse legnose e per questo hanno contenuti di carbonio che variano dal 50% per i carboni più recenti a oltre il 90% per quelli più antichi.
I principali combustibili solidi derivati da biomasse
| Torba | carbonizzazione di vegetali erbacei, mescolata con terriccio, nessun uso industriale |
| Lignite | carbonizzazione di piante ad alto fusto |
| Litantrace | è il carbon fossile, bassa umidità, basso tenore di ceneri, viene distillato per produrre coke e gas combustibili |
| Antracite | termine estremo del processo di carbonizzazione, basso tenore di sostanze volatili, difficoltà all'innesco, uso domestico per riscaldamento |
| Coke | porzione di litantrace solida dopo riscaldamento a 900-1000 °C in assenza di aria, pregiato se poco poroso e resistente a compressione, è utilizzato in altoforno |
Anche il petrolio si è formato in tempi geologici in seguito all’alterazione termica di depositi di materiale organico accumulatosi in diverse migliaia d’anni e ricoperto successivamente da strati impermeabili che ne hanno impedito la fuoriuscita e dispersione nell’ambiente. Il petrolio è un liquido denso, vischioso, dall’odore caratteristico e di colore variante da giallo-bruno a nerastro, costituito principalmente da una miscela di idrocarburi naturali liquidi (olio) e, in proporzione minore, gassosi (gas naturale) e solidi (bitumi e asfalti). Si concentra in bacini sedimentari, all’interno di rocce porose, dove è presente in gocce invisibili a occhio nudo. In genere in queste rocce si ritrovano gas, petrolio e acqua distribuiti secondo la loro densità: il gas, più leggero, negli strati più alti bloccato dagli strati impermeabili; sotto, il petrolio; e alla base, l’acqua, più pesante. La composizione del petrolio può variare sensibilmente a seconda del giacimento e si usa distinguere fra oli pesanti (minore di 26° API, una scala fissata dall’American Petroleum Institute, in sigla appunto API), medi (scala API compresa tra 26° e 34°) e leggeri (sopra 34°), i più pregiati. Un altro parametro importante per la caratterizzazione del greggio è il contenuto di zolfo: il greggio viene detto sweet (dolce) quando il contenuto di zolfo è inferiore alle 0,5% in volume, e medium sour e sour (acido) rispettivamente quando il contenuto di zolfo è compreso fra lo 0,5% e l’1,5% o superiore. I greggi a basso contenuto di zolfo sono di maggior valore perché se ne possono ottenere derivati più pregiati nei processi di raffinazione (vedi tabella sotto).
I principali combustibili liquidi derivati dal petrolio.
| Benzina | prima frazione di distillazione (Temperatura di ebollizione = 30-200 °C), miscela di idrocarburi con 4-12 atomi di C, alta volatilità, elevato potere antidetonante |
| Cherosene | seconda frazione di distillazione (T.eb. = 150-280 °C), densità più elevata della benzina, bassa volatilità, usato per alimentazione di motori a turbina, riscaldamento |
| Gasolio | terza frazione di distillazione (T.eb. = 250-350 °C), usato per motori diesel, elevata tendenza all'accensione spontanea |
| Oli combustibili | residui della distillazione, viscosità variabile, ma piuttosto elevata |
Il gas naturale è una miscela di vari gas fra cui principalmente metano (fra il 70 e 90%) ed etano, butano, propano e pentano, tutti composti più o meno complessi del carbonio. Agli inizi è stato considerato una iattura dai petrolieri quando usciva dai pozzi e solo nella seconda metà del ‘900 si è cominciato a sfruttarlo commercialmente grazie allo sviluppo di tecnologie per la compressione e il trasporto. Nel caso dell’energia nucleare si distingue tra fusione e fissione. Il processo di fusione nucleare è quello che alimenta le stelle e, in particolare il Sole: sotto l’effetto di enormi pressioni e temperature, nuclei di atomi leggeri – tipicamente isotopi di idrogeno, deuterio e trizio – si uniscono in un nucleo più pesante. In questo tipo di reazione il nuovo nucleo costituitosi e il neutrone liberato hanno una massa totale leggermente inferiore (circa l’1%) della somma delle masse dei nuclei reagenti con conseguente liberazione di un’elevata quantità di energia (seconda la già citata legge E = mc2) che conferisce al processo caratteristiche fortemente esotermiche. La reazione incontrollata di fusione nucleare è stata già utilizzata nella cosiddetta “bomba H”; sulla fusione controllata si sta lavorando da decenni, purtroppo non è stato ancora raggiunto alcun risultato di pur minimo interesse pratico, a causa di una serie di ragioni di carattere tecnico fra cui la difficoltà di raggiungere e mantenere le enormi temperature necessarie (oltre 10 milioni di gradi) per innescare la fusione.
Nella fissione nucleare (il processo che alimenta le attuali centrali nucleari per la produzione di energia) il nucleo di atomi pesanti è scisso tramite il bombardamento con neutroni o altre particelle elementari in frammenti. La somma della massa dei nuclei e delle altre particelle formatasi dalla reazione è inferiore a quella del nucleo iniziale e del neutrone utilizzato per bombardarlo (di circa lo 0,1%), con conseguente liberazione di energia. Dal momento che nella reazione di fissione si liberano altri neutroni, se la massa di materiale fissile è sufficientemente alta (se cioè si raggiunge la massa critica) si innesca una reazione a catena che può essere controllata come nelle centrali nucleari o incontrollata come nelle bombe atomiche sganciate nell'agosto del 1945 su Hiroshima e Nagasaki.
Le fonti secondarie
Le fonti secondarie sono quelle che possono essere utilizzate solo a valle di una trasformazione di energia. La benzina e il gasolio utilizzati nei trasporti vengono per esempio prodotti tramite raffinazione del petrolio. L'energia elettrica prodotta tramite centrali termiche alimentate con combustibili fossili è tipicamente una fonte di energia secondaria. Il fatto che le fonti primarie siano disponibili in natura non significa che non siano necessari interventi più o meno rilevanti per po' cric sfruttare commercialmente. Le sabbie bituminose del Canada, r esempio, richiedono speciali tecnologie facenti uso di vapore o solventi (e quindi energeticamente costose) per ricavare petrolio. Anche l'estrazione di petrolio in mare (offshore) o tramite iniezione di acqua o gas può richiedere un notevole investimento energetico. Questo è vero anche nel caso della produzione di uranio. Quello Utilizzabile negli impianti di fissione nucleare è solo l'uranio con 235 neutroni (indicato quindi come U235), che si trova in concentrazioni molto inferiori al più comune e meno radioattivo isotopo U238 (detto isotopo perché ha lo stesso numero di protoni dell'U235, ma un maggior numero di neutroni). Per passare da una concentrazione media in natura di uranio 235 dello 0,7% a quella del 3%, necessaria per far funzionare impianti nucleari ad acqua leggera, è necessario sottoporre il minerale a un processo di arricchimento energeticamente molto costoso perché, essendo i due isotopi dello stesso elemento, non è possibile separarli per via chimica ma per diffusione o centrifugazione utilizzando la piccolissima differenza in peso (meno dell'1,5%). Il plutonio 239, utilizzato come materiale fissile nelle centrali autofertilizzanti, non esiste in natura e quindi va classificato come fonte secondaria.
Fonti rinnovabili e non rinnovabili
Le fonti primarie possono poi essere classificate come fonti rinnovabili e fonti non rinnovabili (o esauribili). Queste ultime sono notoriamente petrolio, gas e carbone, dal momento che la loro coi naturale richiede tempi geologici. Anche l'uranio non è una fonte rinnovabile. Al contrario, solare, idroelettrico, eolico, geotermico e l'energia delle maree e del moto ondoso sono risorse rinnovabili perché si rigenerano in continuazione tramite fenomeni naturali. Questo è vero anche per l'energia ricavata dalle biomasse, sebbene queste ultime, pur rinnovabili, siano potenzialmente esauribili quando il tasso di sfruttamento è sistematicamente superiore a quello di rigenerazione. Per parte sua, l'idroelettrico è soggetto alla variabilità (e ai cambiamenti) del clima: benché il ciclo dell'acqua, alimentato dall'energia del sole, sia certamente inesauribile, tuttavia un bacino idroelettrico mal sfruttato può diventare temporaneamente improduttivo. Al contrario, sole, vento, maree, moto ondoso e calore della Terra possono essere considerate fonti sostanzialmente inesauribili (per quanto la convenienza del loro sfruttamento da un punto di vista commerciale dipenda da specifiche condizioni locali). A parte l'energia geotermica o quella prodotta con centrali nucleari, tutte le altre fonti di energia primaria sono direttamente o indirettamente alimentate dal Sole. I combustibili fossili si sono formati principalmente milioni di anni fa in processi geologici che hanno operato su immensi depositi di biomassa vegetale morta, prodotta a sua volta attraverso la fotosintesi clorofilliana che utilizza l'energia solare. Il vento è un movimento di masse d'aria generato da gradienti (variazioni) di pressione e temperatura originati dall'irraggiamento del Sole. Solare fotovoltaico e termico ricevono energia direttamente dal Sole. L'energia geotermica è dovuta in parte al decadimento di alcuni elementi radioattivi, fra cui l'uranio, e in parte dai lenti processi di raffreddamento del nucleo del pianeta che risalgono alla genesi della Terra.
Bibliografia: Energia e salute della Terra. (Giulio de Leo, Giulia Fiorese, Giorgio Guariso). Fondazione Achille e Giulia Boroli.
Nel mare, come sappiamo, la pressione idrostatica aumenta con la profondità per effetto del peso della colonna di liquido sovrastante. Analogamente nell’atmosfera la pressione dipende dalla massa di aria che si trova al di sopra di un certo punto. La pressione atmosferica è quindi massima al livello del mare e diminuisce man mano che si sale di quota. Infatti, scendendo velocemente di quota, avvertiamo generalmente che le orecchie si “tappano”, proprio a causa dell’aumento di pressione.
Occorre comunque precisare che nel caso dell’aria, a differenza dell’acqua, la diminuzione della pressione è accompagnata da una diminuzione della densità e che, pertanto, i cambiamenti della pressione atmosferica al variare della quota hanno un andamento complesso.
In ogni caso la diminuzione della pressione con l’altitudine è uno dei fattori fondamentali che dà luogo al più importante fenomeno atmosferico sul pianeta: la pioggia.
Per spiegare la formazione della pioggia partiamo immaginando di lasciare libero un palloncino pieno di elio: questo inizierà a volare verso l’alto in quanto la sua densità è inferiore a quella dell’aria. Nella salita il palloncino si troverà attorno una pressione sempre minore: l’elio tenderà ad espandersi fino probabilmente a fare esplodere il palloncino.
La “fisica dei gas” ci permette di sapere che una massa d’aria che si espande senza cambi di calore tende a raffreddarsi. Sappiamo inoltre che il vapore acqueo presente nell’aria umida può condensare per raffreddamento, come accade sullo specchio freddo del bagno. Un effetto simile può verificarsi anche senza una superficie solida: quando una massa d’aria umida si raffredda si possono formare mini goccioline d’acqua che si trasformano in pioggia se raggiungono una certa dimensione.
Dunque, con questi “ingredienti” fisici possiamo intuire che una massa d’aria che sale verso l’alto si espande e contemporaneamente si raffredda, come accade all’elio del palloncino. Il raffreddamento fa sì che l’umidità dell’aria condensi in piccolissime gocce d’acqua dando origine alle nuvole. Se l’aria è sufficientemente carica di vapore acqueo e i moti verticali sono consistenti, le goccioline possono diventare abbastanza grandi per formare infine le gocce di pioggia.
Quasi tutti i moderni telefoni cellulari , come altri dispositivi elettronici, contengono al loro interno accelerometri in cui funzionamento è basato su sensori che misurano le forze agenti su una massetta nota.
Il principio di funzionamento di questi sensori si basa sulla misura della forza impressa agli elementi elastici che racchiudono la massetta disposti lungo i tre assi di un sistema cartesiano.
Si può assumere che se la deformazione degli elementi elastici è molto piccola la massa acceleri in modo solidale con il telefono . Per il secondo principio della dinamica, se il telefono viene accelerato in avanti, la forza necessaria per far accelerare la massa al suo interno verrà impressa dall’elemento elastico che gli sta dietro che risulta leggermente compresso. Il dispositivo è progettato per misurare tramite sensori le forze impresse sugli elementi elastici. Dalla misurazione della forza impressa si può risalire al valore dell’accelerazione in avanti del telefono.
Naturalmente anche la gravità genera una forza sulla massa. Questi accelerometri sono pertanto in grado di determinare la direzione della forza di gravità. Se, per esempio, l’apparecchio è posizionato verticalmente, i sensori misurano un’accelerazione di 9,81 m/s2 lungo la direzione y; se invece è in posizione orizzontale l’accelerazione si manifesta lungo la direzione x. Proprio sulla direzione della forza di gravità si basa la diversa modalità dello schermo che passa istantaneamente da “ritratto” a “panorama” con una semplice rotazione dell’apparecchio.
In questo interessante documentario si compie un affascinante viaggio nel complesso mondo dei frattali. Verranno presentati due concetti fondamentali della geometria frattale: l’autosomiglianza e il caos. Verranno presentati anche due personaggi che hanno dato un contributo fondamentale a queste idee: Benoît Mandelbrot e Edward Norton Lorenz.
Perché questo grande interesse per la geometria frattale? Perché in natura le forme geometriche semplici, come sfere, ellissi circonferenze, sono delle rare eccezioni, mentre le forme geometriche molto complesse sono molto più comuni. Di solito è difficile studiare forme geometriche complesse con un approccio formale. La geometria frattale ci viene in soccorso. Come si fa a descrivere una nuvola? E una montagna? Anche gli alberi hanno una struttura complessa. La geometria euclidea (quella che si impara a scuola) non riesce a rendere conto di queste strutture complesse. Il linguaggio della geometria frattale invece è il linguaggio giusto per descrivere la complessità delle forme della natura.
In poco più di un’ora questo documentario vi conquisterà (ve lo assicuro) e permetterà di capire i concetti più basilari e affascinanti del mondo dei frattali. La geometria frattale ha al giorno d’oggi molte applicazioni pratiche che permettono di risolvere problemi che spaziano dalla geologia, all’astronomia fino alla biologia.
Buona visione del documentario.
Vediamo un frammento della diretta del lancio dello Starship del 18 noembre 2023. Il Booster 9, il primo stadio del razzo, esplode poco dopo...
