Le derivate. Definizione di derivata e significato geometrico.

Il concetto di derivata è uno dei più importanti e fecondi dell’analisi infinitesimale, anche per le le sue numerose applicazioni in ambiti diversi da quello matematico (ad esempio in Fisica). In questo filmato possiamo vedere una semplice spiegazione della definizione di derivata prima e del significato geometrico della derivata. In particolare si vedrà come introdurre la derivata a partire dal problema della determinazione del coefficiente angolare di una retta tangente al grafico di una funzione.

Buona visione a tutti.

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Centenario della Relatività Generale

In questi giorni si sta parlando molto della teoria della Relatività Generale che fu formulata da Albert Einstein nel 1915. Si tratta di un centenario importante perché la Relatività Generale è una delle teorie scientifiche che ha più cambiato la nostra visione del mondo e ha introdotto “meraviglie” della natura che nessuno aveva mai osato concepire, si pensi ad esempio ai buchi neri. E’ stata una rivoluzione oltre che scientifica anche culturale e ancora oggi stimola moltissime ricerche. D’altra parte è una teoria che non porta solo certezze ma anche affascinanti domande, infatti è evidente che non è compatibile con il Modello Standard e ancora manca l’osservazione diretta delle onde gravitazionali.

E’ una teoria essenziale perché è in grado di descrivere in maniera meravigliosa la forza di gravità, che tra tutte le forze che governano l’universo, è certamente la più debole e la più misteriosa.

Ancora non sappiamo quali altri meravigliosi risultati produrrà lo sterminato lavoro di Albert Einstein, ma ci rendiamo conto che il famoso scienziato (forse il più famoso di tutti i tempi) ha lasciato per sempre un segno nella storia della scienza e nell’immaginario popolare.

In questo filmato possiamo vedere una interessante lezione sullo spaziotempo di Einstein e le meraviglie della Relatività Generale. Buona visione a tutti.

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Cosa è lo spaziotempo?

O meglio, lo spaziotempo da cosa è fatto? Le ipotesi della Fisica più affascinanti degli ultimi decenni coinvolgono un curioso fenomeno della meccanica quantistica chiamato entanglement. In parole povere non sarebbe altro che una sorta di “azione a distanza” tra particelle separate anche da grandi distanze. Nonostante si tratti di un fenomeno bizzarro esistono centinaia di esperimenti che mostrano che tale fenomeno è assolutamente reale.

Recentemente il fisico Mark Van Raamsdonk della British Columbia University ha elaborato una ipotesi che afferma che la trama dello spaziotempo sarebbe fatta proprio di entanglement quantistico. Una ipotesi che, se confermata, potrebbe essere un passo in avanti per l’unificazione delle due grandi teorie della Fisica più complete che possediamo: la meccanica quantistica e la relatività generale.

Nel seguente video potete vedere un servizio che spiega questa nuova ipotesi. Buona visione e buon ascolto.

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Come immaginare 10 dimensioni spaziali

Le teorie della Fisica più moderne funzionano in un “mondo” dotato di 10 dimensioni spaziali (o anche di più) e una temporale. Un esempio di queste teorie è la Teoria delle Stringhe. Ma come facciamo ad immaginare un mondo con un numero di dimensioni spaziali superiore alle 3 che sperimentiamo nella nostra esistenza? Con approfondite conoscenze matematiche e geometriche è abbastanza facile capire come possano esistere “altre dimensioni”, perché le equazioni permettono un livello di astrazione molto grande. Ma se non si possiedono tali conoscenze bisogna riuscire ad “immaginare” questa situazione mediante una analogia.

In questo filmato (dura circa 11 minuti ed ha i sottotitoli in italiano) ci spiega come immaginare 10 dimensioni spaziali mediante una serie di interessanti analogie.

Buona visione a tutti.

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Breve storia dell’Universo (video)

In principio, circa 13,7 miliardi di anni fa, tutto lo spazio, tutta la materia e tutta l’energia dell’Universo conosciuto erano contenuti in un volume più piccolo di un bilionesimo della dimensione della punta di uno spillo. Le temperature erano così elevate che le forze fondamentali della natura, che insieme descrivono l’Universo, erano unificate. Per ragioni ignote questo cosmo più piccolo di uno spillo cominciò ad espandersi.

Quando l’Universo aveva la straordinaria temperatura di 10³⁰ gradi, ed era giovanissimo, solo 10^-43 secondi, tempo prima del quale tutte le nostre teorie sulla materia e sullo spazio non valgono più e perdono significato.

Affascinante vero? Questa è l’inizio della storia dell’Universo. Vi piacerebbe sentire come continua questa storia? Guardate questo filmato (durata di poco più di 8 minuti) e vedrete quali sono le conoscenze scientifiche attuali sulla nascita e l’evoluzione dell’Universo.

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Spazio tempo e dimensioni

Cosa si intende in Fisica per spazio-tempo? Cosa significa il termine “dimensioni”? Cosa è la “quarta dimensione”. Questi temi sono molto affascinanti per molti, ma la divulgazione spesso non è sufficiente per renderli chiari. In questo filmato (durata 44 minuti circa) invece questi concetti sono spiegati in maniera semplice ma rigorosa.

Buona visione a tutti del filmato.

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Perché gli aerei volano?

Il volo di un aereo è fondamentalmente dovuto all’equilibrio di diverse forze. In questo filmato (in inglese, ma con i disegni animati è tutto perfettamente chiaro anche per chi non lo conosce bene), possiamo vedere una interessante spiegazione del perché gli aerei riescono a volare, nonostante siano delle vere e proprie “montagne di metallo” (specialmente i grandi aerei di linea).

Buona visione a tutti della spiegazione.

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Che cos’è la materia oscura? (video)

La materia oscura è uno degli argomenti scientifici più stimolanti degli ultimi decenni. Non sempre è facile, a livello divulgativo, spiegare esattamente di cosa si tratta. Spesso è molto facile creare dei fraintendimenti causati dalla necessaria semplificazione usata per spiegare certi argomenti ai “non addetti ai lavori”. Per fortuna si riescono a trovare dei giovani divulgatori che riescono a spiegare cose complicate con parole semplici senza perdere in precisione e rigore.

La materia oscura è uno dei problemi aperti della scienza contemporanea. In questo video il giovane divulgatore Adrian Fartrade spiega molto bene cosa è la materia oscura, come è stata scoperta e quali sono le ipotesi più accreditate che possono spiegare questo affascinante mistero.

Buona visione a tutti.

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Non è vero che Homer Simpson ha previsto la massa del bosone di Higgs

In questi giorni impazza sui social network e nei vari blog bufalari sparsi per la rete, la notizia che in una puntata dei Simpson del 1998 (nell’episodio, intitolato “In The Wizard of Evergreen Terrace”) apparirebbe una equazione che prevede correttamente la massa del bosone di Higgs, scoperto con l’acceleratore LHC del CERN nel 2012. La notizia è stata divulgata da Simon Singh, autore del libro “The Simpsons and their Mathematical Secrets” (I Simpson e i loro segreti matematici).

L’immagine incriminata sarebbe questa:

L’equazione della massa del bosone di Higgs sarebbe quella della prima riga. In essa compaiono diverse costanti, come pigreco, la costante di struttura fine, la costante di Planck, la velocità della luce e la costante di gravitazione universale.

Facciamo un rapido calcolo per vedere se la massa del bosone di Higgs calcolata con questa formula è la stessa (o almeno è paragonabile) con quella misurata che è pari a circa 125,2 Gev/c².

Nell’equazione:

sostituiamo i corrispondenti valori delle costanti:

Eseguendo il calcolo si ottiene una massa di , che corrispondono a circa 776,6 Gev/c². Direi che è un valore molto lontano dai reali 125,2 Gev/c². La notizia è quindi una bufala a regola d’arte forse diffusa per pubblicizzare il libro di Simon Singh.

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La Teoria delle Stringhe secondo Brian Greene (TEDItalia)

La Teoria delle Stringhe è una delle ipotesi scientifiche (non è propriamente una teoria) più interessanti che siano state formulate negli ultimi decenni. In questo filmato di TEDItalia, Brian Greene, uno dei protagonisti che hanno sviluppato questa grandiosa ipotesi, ci descrive gli aspetti più affascinanti della Teoria delle Stringhe, come le 11 dimensioni e la possibilità di unificare tutte le forze della Natura. Lo scienziato ci descriverà a grandi linee anche un esperimento (realizzabile grazie al grande acceleratore di particelle LHC presente al CERN di Ginevra) che potrebbe determinare se la Teoria delle Stringhe è giusta o sbagliata.

Buona visione a tutti.

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L’equilibrio in Fisica (equilibrio del corpo rigido esteso): un semplice esperimento.

I corpi rigidi estesi si comportano come se la forza peso che agisce su di essi fosse applicata in un punto particolare detto centro di gravità o baricentro. Si può verificare facilmente che un corpo appoggiato resta in equilibrio e non si rovescia  fin tanto che le retta tracciata perpendicolarmente dal centro di gravità verso il suolo cade all’interno della base di appoggio.

Esistono tre tipi di equilibrio: stabile, instabile e indifferente.

Un corpo si dice in equilibrio stabile se, sottoposto ad uno spostamento, ritorna nella sua posizione iniziale. Il baricentro G si posiziona lungo la verticale che parte dal punto di sospensione P e al di sotto di quest’ultimo.

Si dice in equilibrio instabile se, sottoposto ad uno spostamento, non torna nella sua posizione iniziale. Il baricentro G si trova lungo la verticale che passa da P, ma al di sopra del punto di sospensione.

Si dice in equilibrio indifferente se, sottoposto ad uno spostamento, rimane in equilibrio nella nuova posizione. In questo caso il baricentro G coincide con il punto P di sospensione.

Nel seguente filmato possiamo vedere un semplice esperimento sull’equilibrio realizzabile con materiali che tutti possono avere in casa. Bastano due forchette, qualche stuzzicadenti e una bottiglia di plastica.

Buona visione del filmato.

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Una semplice spiegazione del momento angolare (video)

Se sei arrivato a questo post è perché stai cercando una spiegazione semplice del momento angolare. Il momento angolare è una grandezza fisica (quindi una quantità misurabile) che riguarda tutti gli oggetti che presentano un movimento rotatorio. La Terra stessa che ruota attorno al proprio asse, possiede un momento angolare, ma anche la Luna che gira attorno alla Terra o la Terra che gira attorno al Sole e persino il Sole che gira attorno al centro della Via Lattea sono oggetti che possiedono un momento angolare.

In questo breve filmato (poco più di tre minuti) possiamo vedere una semplice spiegazione del momento angolare. Anche se il video è in inglese, si riesce a capire molto bene l’argomento, grazie ai disegni ed ai semplici esempi che vengono mostrati.

Buona visione a tutti.

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Fusione nucleare nelle stelle (video)

In questo filmato (durata 45 minuti) viene spiegata come avviene la fusione nucleare nelle stelle. Le stelle brillano grazie alle reazioni di fusione nucleare e quindi si tratta di reazioni che hanno una importanza assoluta per quanto riguarda la struttura dell’Universo conosciuto. La vita stessa sulla Terra dipende dall’energia che proviene dal nostro Sole e quindi, alla fine, dipende dalla fusione nucleare che avviene nel nucleo della nostra stella.

Buona visione della lezione.

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La forza di gravità. Documentario Ulisse (Alberto Angela)

In un’estate di oltre tre secoli fa, un fisico se ne stava comodamente seduto sotto un albero di melo. All’improvviso si verificò un evento destinato a rimanere molto famoso nella storia della scienza. Una mela si staccò dall’albero e cadde ai suoi piedi. Come mai cadono le mele? Perché sono attratte dalla Terra, ovviamente, così come lo sono tutti gli altri oggetti intorno a noi. In fondo la Terra è come una gigantesca “calamita” che attira tutto. Ma se è una banalità dire che la Terra attira la mela, molto meno banale è dire che anche la mela attira la Terra. Ovviamente la forza di attrazione della mela sulla Terra è davvero molto piccola, ma questa forza, in effetti, c’è.

Quel fisico si chiamava Isaac Newton. Ovviamente Newton non aveva bisogno di una mela per capire questi concetti, che in realtà aveva già molto ben chiari. Quella della mela è solo una metafora di un fenomeno che pervade tutta la materia, non solo qui sulla Terra, ma anche in tutto il resto dell’Universo. Tutte le grandi strutture dell’Universo, le galassie, i pianeti, le stelle, le comete, gli asteroidi, ecc… sono “plasmati” dalla forza di gravità e i loro movimenti reciproci sono modellati dalla stessa forza. Possiamo vedere una sorta di enorme “giostra cosmica” in perenne movimento. Tutti questi movimenti sono regolati da quella legge di gravitazione universale che Newton era riuscito a tradurre in formule matematiche.

In questo filmato ci si soffermerà sulle conseguenze della forza di gravità sulla Terra. Spesso non ci facciamo caso, ma ogni giorno dobbiamo confrontarci con la forza di gravità e dobbiamo combatterla con grandi sforzi e fatiche.

Di questo documentario avevo già postato un frammento di alcuni minuti qui, ma adesso posso segnalarvi l’intero servizio della durata di circa un’ora e tre quarti.

Buona visione a tutti.

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Analisi matematica. Le equazioni differenziali (parte 2 di 6)

Ecco la seconda lezione dedicata alle equazioni differenziali (la prima a questo indirizzo). Stavolta si spiegano le equazioni differenziali di ordine n a coefficienti costanti. La lezione è molto chiara anche perché il docente fa molti esempi di risoluzione di equazioni.

Buona visione a tutti.

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Come si forma la pioggia

Nel mare, come sappiamo, la pressione idrostatica aumenta con la profondità per effetto del peso della colonna di liquido sovrastante. Analogamente nell’atmosfera la pressione dipende dalla massa di aria che si trova al di sopra di un certo punto. La pressione atmosferica è quindi massima al livello del mare e diminuisce man mano che si sale di quota. Infatti, scendendo velocemente di quota, avvertiamo generalmente che le orecchie si “tappano”, proprio a causa dell’aumento di pressione.

Occorre comunque precisare che nel caso dell’aria, a differenza dell’acqua, la diminuzione della pressione è accompagnata da una diminuzione della densità e che, pertanto, i cambiamenti della pressione atmosferica al variare della quota hanno un andamento complesso.

In ogni caso la diminuzione della pressione con l’altitudine è uno dei fattori fondamentali che dà luogo al più importante fenomeno atmosferico sul pianeta: la pioggia.

Per spiegare la formazione della pioggia partiamo immaginando di lasciare libero un palloncino pieno di elio: questo inizierà a volare verso l’alto in quanto la sua densità è inferiore a quella dell’aria. Nella salita il palloncino si troverà attorno una pressione sempre minore: l’elio tenderà ad espandersi fino probabilmente a fare esplodere il palloncino.

La “fisica dei gas” ci permette di sapere che una massa d’aria che si espande senza cambi di calore tende a raffreddarsi. Sappiamo inoltre che il vapore acqueo presente nell’aria umida può condensare per raffreddamento, come accade sullo specchio freddo del bagno. Un effetto simile può verificarsi anche senza una superficie solida: quando una massa d’aria umida si raffredda si possono formare mini goccioline d’acqua che si trasformano in pioggia se raggiungono una certa dimensione.

Dunque, con questi “ingredienti” fisici possiamo intuire che una massa d’aria che sale verso l’alto si espande e contemporaneamente si raffredda, come accade all’elio del palloncino. Il raffreddamento fa sì che l’umidità dell’aria condensi in piccolissime gocce d’acqua dando origine alle nuvole. Se l’aria è sufficientemente carica di vapore acqueo e i moti verticali sono consistenti, le goccioline possono diventare abbastanza grandi per formare infine le gocce di pioggia.

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L’accelerometro negli smartphone

Quasi tutti i moderni telefoni cellulari , come altri dispositivi elettronici, contengono al loro interno accelerometri in cui funzionamento è basato su sensori che misurano le forze agenti su una massetta nota.

Il principio di funzionamento di questi sensori si basa sulla misura della forza impressa agli elementi elastici che racchiudono la massetta disposti lungo i tre assi di un sistema cartesiano.

Si può assumere che se la deformazione degli elementi elastici è molto piccola la massa acceleri in modo solidale con il telefono . Per il secondo principio della dinamica, se il telefono viene accelerato in avanti, la forza necessaria per far accelerare la massa al suo interno verrà impressa dall’elemento elastico che gli sta dietro che risulta leggermente compresso. Il dispositivo è progettato per misurare tramite sensori le forze impresse sugli elementi elastici. Dalla misurazione della forza impressa si può risalire al valore dell’accelerazione in avanti del telefono.

Naturalmente anche la gravità genera una forza sulla massa. Questi accelerometri sono pertanto in grado di determinare la direzione della forza di gravità. Se, per esempio, l’apparecchio è posizionato verticalmente, i sensori misurano un’accelerazione di 9,81 m/s² lungo la direzione y; se invece è in posizione orizzontale l’accelerazione si manifesta lungo la direzione x. Proprio sulla direzione della forza di gravità si basa la diversa modalità dello schermo che passa istantaneamente da “ritratto” a “panorama” con una semplice rotazione dell’apparecchio.

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I frattali (documentario)

In questo interessante documentario si compie un affascinante viaggio nel complesso mondo dei frattali. Verranno presentati due concetti fondamentali della geometria frattale: l’autosomiglianza e il caos. Verranno presentati anche due personaggi che hanno dato un contributo fondamentale a queste idee: Benoît Mandelbrot e Edward Norton Lorenz.

Perché questo grande interesse per la geometria frattale? Perché in natura le forme geometriche semplici, come sfere, ellissi circonferenze, sono delle rare eccezioni, mentre le forme geometriche molto complesse sono molto più comuni. Di solito è difficile studiare forme geometriche complesse con un approccio formale. La geometria frattale ci viene in soccorso. Come si fa a descrivere una nuvola? E una montagna? Anche gli alberi hanno una struttura complessa. La geometria euclidea (quella che si impara a scuola) non riesce a rendere conto di queste strutture complesse. Il linguaggio della geometria frattale invece è il linguaggio giusto per descrivere la complessità delle forme della natura.

In poco più di un’ora questo documentario vi conquisterà (ve lo assicuro) e permetterà di capire i concetti più basilari e affascinanti del mondo dei frattali. La geometria frattale ha al giorno d’oggi molte applicazioni pratiche che permettono di risolvere problemi che spaziano dalla geologia, all’astronomia fino alla biologia.

Buona visione del documentario.

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La sezione aurea

La sezione aurea è sempre esistita, sia nel nostro Universo, sia nella nostra casa: la Terra. La sua storia è antica di 3 millenni; rappresenta lo standard di riferimento della perfezione e dell’armonia. I primi che la studiarono furono i greci che la utilizzarono in architettura e scultura. Numerosi artisti e matematici la approfondirono nel corso dei secoli. Uno dei più importanti matematici del medioevo, Fibonacci, scrisse il Liber Abaci, un libro che introdusse l’algebra araba nel mondo occidentale. In questo libro compare anche il rapporto aureo, considerato come un numero che dona perfezione. Qui compare anche la cosiddetta successione di Fibonacci, ossia una serie di numeri che parte dal numero zero:

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55…

i successivi sono la somma dei precedenti fino all’infinito. Questi numeri sono i numeri aurei. Dividendo due numeri ci si accorge che, più andando avanti, più il risultato diventa sempre più vicino al numero aureo 1,61803…

In natura troviamo innumerevoli esempi di proporzioni auree; le conchiglie dei molluschi gasteropodi, ad esempio, hanno una forma a spirale che è detta spirale aurea. L’esempio che meglio rappresenta la spirale aurea è il guscio del Nautilus.

Anche molte galassie presentano una forma a spirale che approssima molto bene la spirale aurea, come vediamo ad esempio nella galassia M74, visibile e fotografabile con piccoli telescopi nella costellazione dei Pesci.

Nel seguente filmato possiamo vedere una bella spiegazione della sezione aurea in molti dei suoi aspetti più interessanti. Si passa dalla matematica alla pittura, dalla natura alla fotografia. Si tratta di una notevole ricerca realizzata dalla classe 3^a A del Liceo Scientifico “G. Spezia” di Domodossola. 29 minuti di un vero e proprio documentario in cui, con esempi semplici ed incisivi, potrete capire molte cose sulla sezione aurea.

Buona visione a tutti.

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Oro falso: come si riconosce.

L’oro è un metallo prezioso che nella nostra società ha un valore intrinseco anche se la sua quotazione può cambiare. Nel passato questo metallo veniva usato per scambi di merci tra Paesi le cui monete avevano valore proprio in virtù del materiale con cui erano fatte. Con l’oro si forgiavano monete e lingotti che venivano utilizzati per i pagamenti.

Ma come verificare che una moneta, un lingotto o un gioiello siano veri? A un esame visivo è quasi impossibile capire se un oggetto invece di essere di oro zecchino è stato ottenuto mescolando metalli diversi, o semplicemente placcato in oro. Scalfire l’oggetto o valutarne la resistenza alla deformazione attraverso un morso, come si vede nei film western, sono metodi che possono essere utilizzati per riconoscere oggetti falsi; questi metodi tuttavia rovinano irrimediabilmente gli oggetti stessi.

Si racconta che per primo, Archimede escogitò un esperimento per verificare la purezza di una corona costruita per il tiranno di Siracusa Gerone II da un orafo di fiducia, senza intaccarne la bellezza.

Archimede si basò sull’osservazione che due quantità di uguale massa di argento e oro, immerse in un vaso colmo d’acqua, fanno fuoriuscire quantità di liquido differenti. Egli confrontò quindi la quantità di acqua fuoriuscita dal vaso immergendo prima la corona, poi una quantità di oro puro di uguale massa. Racconta l’architetto e scrittore romano Vitruvio: “Onde discorrendo sopra quel che più usciva fuori, ponendovi la corona, che ponendovi la massa, ritrovò il mescolamento dell’argento con l’oro, e insieme il manifesto furto dell’orefice”.

L’esperimento progettato da Archimede si basa sul fatto che l’oro ha una densità molto alta (19,3 g/cm³), superiore a quella di molti altri metalli. Ed è proprio determinando la densità, attraverso misure di massa e di volume, che è possibile smascherare eventuali inganni.

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