venerdì 11 dicembre 2009

Disequazioni di secondo grado. Il metodo del “valore spia”.

 

Le disequazioni di secondo grado possono essere risolte secondo due metodi principali: il metodo algebrico e il metodo grafico. Nel caso del metodo algebrico è necessario ricordarsi una tabella, nel metodo grafico bisogna ricordarsi il concetto di concavità della parabola.

Non esiste un metodo ancora più semplice?

In realtà un metodo semplice è quello che potremmo chiamare il metodo del “valore spia”. Per spiegarlo farò alcuni esempi.

Consideriamo la seguente disequazione di secondo grado:

Troviamo le soluzioni dell’equazione associata:

Il trinomio di secondo grado proposto si annulla quindi per il valori 1 e –4. Ci chiediamo a questo punto per quali valori il trinomio è positivo o negativo.

Prima di tutto posizioniamo le due radici trovate prima in una retta orientata:

grafico

Scegliamo un valore interno rispetto alle due radici, ad esempio 0, e lo sostituiamo nella espressione del trinomio di secondo grado:

Questo significa che se prendiamo un valore che si trova all’interno dell’intervallo individuato dalle due radici, il trinomio assume un segno negativo. Da ciò possiamo dedurre che avrà un segno positivo se prendiamo un valore che si trova all’esterno, ad esempio 2. Verifichiamolo:

La stessa cosa avverrà per tutti il valori esterni rispetto all’intervallo individuato dalle due radici.

Concludendo, possiamo affermare che la disequazione

risulterà maggiore uguale a zero per i valori esterni rispetto alle radici e cioè per:

e per

Lo stesso discorso si può fare anche per le disequazioni che presentano la disuguaglianza con minore uguale, con strettamente maggiore (cioè >) o strettamente minore (quindi <). Basta sempre vedere che segno assume l’espressione di secondo grado per un valore esterno o interno rispetto all’intervallo individuato dalle radici.

Nel caso in cui l’espressione di secondo grado abbia il delta uguale a zero, troviamo una sola soluzione, quindi non è possibile individuare un intervallo. In questo caso basta calcolare che segno assume l’espressione per qualunque valore diverso dalla radice trovata.

Ad esempio:

L’equazione associata presenta delta uguale a zero, con unica soluzione x = 1. Allora vediamo che segno assume per un valore diverso da 1, ad esempio 0.

Come vediamo assume un valore positivo. Da ciò si può concludere che l’espressione presentata sopra è sempre positiva ed è nulla solo per x = 1. Non potrà mai essere negativa, quindi la disequazione di esempio non è mai verificata e non ammette soluzioni.

Se abbiamo un delta minore di zero invece l’espressione non ha soluzioni (quindi non si annulla mai). Basta calcolare il segno per un qualunque valore di x.

Facciamo anche in questo caso un esempio:

Come possiamo calcolare facilmente, l’equazione associata presenta un delta negativo. Non esistono soluzioni e l’espressione di secondo grado non si annulla mai. Basta vedere che segno assume per qualunque valore di x, ad esempio 0:

da ciò risulta che l’espressione è sempre positiva, quindi la disequazione (essendo maggiore di zero) è verificata per qualunque valore di x.

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